В 1 задаче, кажется, опечатка - должно быть y вместо t. z = √(xy)/(x+y+2)^2 Максимум функции двух переменных будет при двух условиях: 1) Обе частные производные равны 0
Дроби равны 0, когда числитель равен 0 { √y*(y+2-3x) = 0 { √x*(x+2-3y) = 0 y1 = 0; подставляем во 2 уравнение: √x*(x+2)=0; x1=0; x2=-2 Решения: (0; 0); (-2; 0) - не подходит, x ≥ 0 x1 = 0; подставляем в 1 уравнение: √y*(y+2)=0; y1=0; y2=-2 Решения: (0; 0); (0; -2) - не подходит, y ≥ 0 Если x > 0 и y > 0, то { y + 2 - 3x = 0 { x + 2 - 3y = 0 Умножаем 2 уравнение на 3 { -3x + y + 2 = 0 { 3x - 9y + 6 = 0 Складываем уравнения -8y + 8 = 0 y = 1; 3x - 9 + 6 = 3x - 3 = 0; x = 1 Решение: (1; 1).
2 задача. Система
Область определения логарифмов: { x > 0; x =/= 1 { y > 0; y =/= 1 У логарифмов есть такое свойство: Причем новое основание с может быть любым, например, 10 Перепишем 2 уравнение, воспользовавшись этим свойством.
Преобразуем 2 уравнение по свойствам логарифмов.
Замена t + 1/t = 5/2 Умножаем все на 2t 2t^2 - 5t + 2 = 0 (t - 2)(2t - 1) = 0 Получаем два решения: 1) Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
y^2 = 12 - y y^2 + y - 12 = 0 (y + 4)(y - 3) = 0 Решение: y1 = 3; x1 = 9 y = -4 < 0 - не подходит. 2) Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
y = (12 - y)^2 = y^2 - 24y + 144 y^2 - 25y + 144 = 0 (y - 9)(y - 16) = 0 Решение: y2 = 9; x2 = 3 При y = 16 будет x = 12 - y < 0 - не подходит. Ответ: (3; 9); (9; 3)
Answers & Comments
Verified answer
В 1 задаче, кажется, опечатка - должно быть y вместо t.z = √(xy)/(x+y+2)^2
Максимум функции двух переменных будет при двух условиях:
1) Обе частные производные равны 0
Дроби равны 0, когда числитель равен 0
{ √y*(y+2-3x) = 0
{ √x*(x+2-3y) = 0
y1 = 0; подставляем во 2 уравнение: √x*(x+2)=0; x1=0; x2=-2
Решения: (0; 0); (-2; 0) - не подходит, x ≥ 0
x1 = 0; подставляем в 1 уравнение: √y*(y+2)=0; y1=0; y2=-2
Решения: (0; 0); (0; -2) - не подходит, y ≥ 0
Если x > 0 и y > 0, то
{ y + 2 - 3x = 0
{ x + 2 - 3y = 0
Умножаем 2 уравнение на 3
{ -3x + y + 2 = 0
{ 3x - 9y + 6 = 0
Складываем уравнения
-8y + 8 = 0
y = 1; 3x - 9 + 6 = 3x - 3 = 0; x = 1
Решение: (1; 1).
2 задача. Система
Область определения логарифмов:
{ x > 0; x =/= 1
{ y > 0; y =/= 1
У логарифмов есть такое свойство:
Причем новое основание с может быть любым, например, 10
Перепишем 2 уравнение, воспользовавшись этим свойством.
Преобразуем 2 уравнение по свойствам логарифмов.
Замена
t + 1/t = 5/2
Умножаем все на 2t
2t^2 - 5t + 2 = 0
(t - 2)(2t - 1) = 0
Получаем два решения:
1)
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
y^2 = 12 - y
y^2 + y - 12 = 0
(y + 4)(y - 3) = 0
Решение: y1 = 3; x1 = 9
y = -4 < 0 - не подходит.
2)
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
y = (12 - y)^2 = y^2 - 24y + 144
y^2 - 25y + 144 = 0
(y - 9)(y - 16) = 0
Решение: y2 = 9; x2 = 3
При y = 16 будет x = 12 - y < 0 - не подходит.
Ответ: (3; 9); (9; 3)