Ответ:  [tex]4^{10}+1[/tex]

Объяснение:

[tex]\dfrac{4^{19} + 4^{18} + \ldots + 4 + 1}{4^9 + 4^8 + \ldots + 4 + 1}=4^{10}+1[/tex]

Формула для нахождения суммы  первых членов  геометрической прогрессии :

[tex]\sf S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}[/tex]

В числителе

[tex]S_{20}= \dfrac{1(4^{20}-1)}{4 -1} = \dfrac{4^{20}-1}{3}[/tex]

В знаменателе

[tex]S_{10}= \dfrac{1(4^{10}-1)}{4 -1} = \dfrac{4^{10}-1}{3}[/tex]

Тогда :

[tex]\dfrac{4^{19} + 4^{18} + \ldots + 4 + 1}{4^9 + 4^8 + \ldots + 4 + 1} =\dfrac{\dfrac{4^{20}-1 }{3} }{\dfrac{4^{10}-1}{3} } =\dfrac{(4^{10}-1)(4^{10}+1)}{4^{10}-1} = 4^{10}+1[/tex]