Ответ:

Найти наименьшее значение выражения  [tex]\bf x^2+y^2[/tex]  . если  [tex]\bf 2x+5y=29[/tex]

Выразим переменную  х  из линейного уравнения.

[tex]\bf x=\dfrac{29-5y}{2}=14,5-2,5y[/tex]  

Подставим в заданное выражение.

[tex]\bf x^2+y^2=(14,5-2,5y)^2+y^2=210,25-72,5y+6,25y^2+y^2=\\\\=7,25y^2-72,5y+210,25+7,25\cdot (y^2-10y+29)=\\\\=7,25\cdot \Big((y-5)^2\underbrace{-25+29}_{4}\Big)=7,25\cdot (y-5)^2+4\cdot 7,25=\underbrace{\bf 7,25\, (y-5)^2}_{\geq 0}+\underbrace{\bf 29}_{ > 0}[/tex]

Получили сумму. Первое слагаемое при любых значениях переменной  y  неотрицательно,  то есть   [tex]\bf 7,25\cdot (y-5)^2\geq 0[/tex]  . Второе слагаемое строго больше 0 ,  [tex]\bf 29 > 0[/tex]  . Наименьшее значение эта сумма примет в том случае, если первое слагаемое обратиться в 0 . А это возможно при  [tex]\bf y=5[/tex]  .  

Наименьшее значение выражение  [tex]\bf x^2+y^2[/tex]  равно  29  при  условии, что  [tex]\bf 2x+5y=29[/tex]  .