Ответ:

Тождества доказаны.

Пошаговое объяснение:

Доказать тождество:

[tex]\displaystyle \bf 1)\;\;\; tg2\alpha (1+cos4\alpha )-sin4\alpha =0[/tex]

Упростим левую часть тождества:

[tex]\displaystyle tg2\alpha (1+cos4\alpha )-sin4\alpha =[/tex]

                 [tex]\displaystyle \bf \boxed { cos^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}}[/tex]     или     [tex]\displaystyle \bf \boxed { 2cos^2\alpha =1+cos2\alpha}[/tex]

[tex]\displaystyle =tg2\alpha \;2cos^22\alpha -sin4\alpha =[/tex]

                              [tex]\displaystyle \bf \boxed { tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }\cdot 2cos^22\alpha -sin4\alpha =\\ \\=2sin2\alpha \;cos2\alpha -sin4\alpha =[/tex]

                          [tex]\boxed {\displaystyle \bf sin2\alpha =2sin\alpha \;cos\alpha }[/tex]

[tex]\displaystyle \bf =sin4\alpha -sin4\alpha =0[/tex]

Тождество доказано.

[tex]\displaystyle \bf 2)\;\;\;\frac{1-cos\alpha +sin\alpha }{1+cos\alpha +sin\alpha } =tg\frac{\alpha }{2}[/tex]

Упростим левую часть:

[tex]\displaystyle \frac{1-cos\alpha +sin\alpha }{1+cos\alpha +sin\alpha } =[/tex]

            [tex]\displaystyle \bf \boxed { sin^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}}[/tex]     или     [tex]\displaystyle \bf \boxed { 2sin^2\alpha =1-cos2\alpha}[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{\displaystyle 2sin^2\frac{\alpha }{2}+2sin\frac{\alpha }{2}\;cos\frac{\alpha }{2} }{\displaystyle 2cos^2\frac{\alpha }{2}+2sin\frac{\alpha }{2}\;cos\frac{\alpha }{2} } =\frac{\displaystyle 2sin\frac{\alpha }{2}(sin\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\alpha }{2}) }{\displaystyle 2cos\frac{\alpha }{2}(sin\frac{\alpha }{2}+cos\frac{\alpha }{2} )} =\frac{\displaystyle sin\frac{\alpha }{2} }{c\displaystyle os\frac{\alpha }{2} } =tg\frac{\alpha }{2}[/tex]

Тождество доказано.