Ответ:

  Производная — это скорость изменения функции.
Производная функции f{\left( x \right)} в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

f'(x0) = tg a

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем k=tg \mkern 3mu \alpha. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:

f'(x0) = tg a AB/MN

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

y=kx + b.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

k=tg a

Мы получаем, что

f'(x0) = tg a = k

Если что-то не понятно, пишите)