dy/dx=x+yx

dy/dx=x(y+1)

∫dy/(y+1)=∫xdx

ln|y+1|+С1=x^2/2+С2

x^2=2ln|y+1|+С

x^2=ln(y+1)^2+С

x^2=lnC3(y+1)^2

x=√(lnC3(y+1)^2)

Ответ:

Общий интеграл дифференциального уравнения:

[tex]\boxed{\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C}[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C}[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \frac{dy}{dx} = x + yx[/tex]обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

[tex]\displaystyle \frac{dy}{dx} = x(1 + y) \bigg| \cdot \frac{dx}{(1 + y)}[/tex] - домножим на данное выражение, чтобы разделить переменные (пропорция)

[tex]\dfrac{dy}{y + 1} = x \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle \int \dfrac{dy}{y + 1} = \int x \ dx[/tex] - интегрируем обе части так как они содержат одинаковые переменные и соотвествующие дифференциалы

[tex]\displaystyle \int \dfrac{d(y + 1)}{y + 1} = \int x \ dx[/tex] - вносим выражение [tex]y + 1[/tex] под дифференицал

(от внесения константы под дифференциал ничего не меняется, так как производная от константы равна нулю)

[tex]\ln |y + 1| + C_{1} = \dfrac{x^{2}}{2} + C_{2}[/tex] - результат интегрирования

[tex]\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C_{2} - C_{1}[/tex]

[tex]\boxed{\ln |y + 1| - \dfrac{x^{2}}{2} = C}[/tex] - общий интеграл