Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и в. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Высота пирамиды равна Н. Найти площадь боковой грани, содержащую гипотенузу.

Решение.

Пирамида АВСК , ∠С=90,ВС=а , АС=в.

Тк боковые грани пирамиды, содержащие катеты, перпендикулярны к плоскости основания , то линия пересечения КС⊥( АВС), те является высотой пирамиды.

Пусть СТ⊥АВ , тогда по теореме о трех перпендикулярах КТ⊥АВ, те КТ- высота ΔАВК. S=1/2*АВ*КТ.

ΔАВС – прямоугольный , по т Пифагора ,АВ=√(а²+в²).

Найдем длину СТ , используя формулу площади для ΔАВС:

С одной стороны

S=1/2*ВС*АС =1/2*а*в,

с другой стороны S=1/2*АВ*СТ , те

1/2*а*в= 1/2* √(а²+в²) *СТ ⇒

СТ=(а*в)/ √(а²+в²).

Теперь из ΔСКТ- прямоугольного , КТ=√(Н²+((а*в)/ √(а²+в²))²)=

=√(Н²+(а*в) ²/(а²+в²))

Тогда S(ΔАВК)=1/2*АВ*КТ,

S(ΔАВК)=1/2*√(а²+в²)*√(Н²+(а*в) ²/(а²+в²))=

=0,5*√(а²+в²)*((Н²+(а*в) ²/(а²+в²))=

=0,5*√((а²+в²)*Н²+(а²+в²)*(а*в) ²/(а²+в²))=

=0,5*√((а²+в²)*Н²+(а*в) ²).