ggmatiyT
Нехай двограний кут має ребро довжини d, а кут між гранями має міру α. Тоді, за теоремою косинусів для трикутника, утвореного ребром і двома точками, маємо:
a² = d² + b² - 2db cos(α)
де a - відстань між двома точками, b - відстань від другої точки до протилежної грані.
Також маємо:
c = d cos(α)
де c - відстань від першої точки до грані.
Звідси можна виразити d та cos(α):
d = c / cos(α)
cos(α) = c / d
Підставляємо ці вирази в формулу для a і отримуємо:
a² = d² + b² - 2cb / d
a²d² = d⁴ + b²d² - 2cbd
d⁴ - (a² - b²)d² + 2cbd = 0
Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно d², отримуємо:
d² = [(a² - b²) ± √((a² - b²)² - 4c²b²)] / 2
Оскільки d > 0, то вибираємо додатній корінь:
d² = [(a² - b²) + √((a² - b²)² - 4c²b²)] / 2
Тепер можемо виразити b:
b = √(d² - c²)
Підставляємо значення d та c з відповідних формул і отримуємо:
Answers & Comments
a² = d² + b² - 2db cos(α)
де a - відстань між двома точками, b - відстань від другої точки до протилежної грані.
Також маємо:
c = d cos(α)
де c - відстань від першої точки до грані.
Звідси можна виразити d та cos(α):
d = c / cos(α)
cos(α) = c / d
Підставляємо ці вирази в формулу для a і отримуємо:
a² = d² + b² - 2cb / d
a²d² = d⁴ + b²d² - 2cbd
d⁴ - (a² - b²)d² + 2cbd = 0
Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно d², отримуємо:
d² = [(a² - b²) ± √((a² - b²)² - 4c²b²)] / 2
Оскільки d > 0, то вибираємо додатній корінь:
d² = [(a² - b²) + √((a² - b²)² - 4c²b²)] / 2
Тепер можемо виразити b:
b = √(d² - c²)
Підставляємо значення d та c з відповідних формул і отримуємо:
b = √([(a² - b²) + √((a² - b²)² - 4c²b²)] / 2 - c²)
Це і є відстань від другої точки до протилежної грані.