Ответ:

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти координаты середины отрезка KM, нужно найти среднее арифметическое каждой координаты точек K и M.

Координаты середины вектора KM будут равны:

Xсередина = (Xк + Xм) / 2 = (0 - 4) / 2 = -2

Yсередина = (Yк + Yм) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -1

Zсередина = (Zк + Zм) / 2 = (8 + 6) / 2 = 7

Таким образом, координаты середины отрезка KM равны (-2, -1, 7).

Чтобы найти координаты точки, симметричной точке В относительно точки С, нужно использовать формулу для симметрии вектора. Формула гласит:

Xсимметричная = 2 * Xцентр - Xисходная

Yсимметричная = 2 * Yцентр - Yисходная

Zсимметричная = 2 * Zцентр - Zисходная

Подставим значения:

Xсимметричная = 2 * 4 - 6 = 2

Yсимметричная = 2 * 1 - (-3) = 5

Zсимметричная = 2 * (-6) - 2 = -14

Таким образом, координаты точки, симметричной точке В относительно точки С, равны (2, 5, -14).

Для нахождения длины медианы ВМ треугольника ABC, заданного координатами вершин A(3, -1, 4), B(2, -1, 3) и C(5, 3, 2), нужно найти середину отрезка ВМ и вычислить длину этого отрезка.

Сначала найдем координаты середины отрезка ВМ:

Xсередина = (XВ + XМ) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5

Yсередина = (YВ + YМ) / 2 = (-1 - 1) / 2 = -1

Zсередина = (ZВ + ZМ) / 2 = (3 + 4) / 2 = 3.5

Координаты середины отрезка ВМ равны (2.5, -1, 3.5).

Теперь вычислим длину отрезка ВМ, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)

= √((2 - 2.5)² + (-1 - (-1))² + (3 - 3.5)²)

= √(0.25 + 0 + 0.25)

= √0.5

≈ 0.71

Таким образом, длина медианы ВМ треугольника ABC составляет примерно 0.71.

Чтобы найти косинус угла между векторами а и b, можно использовать формулу:

cos(θ) = (а * b) / (||а|| * ||b||)

где а * b - скалярное произведение векторов, ||а|| и ||b|| - длины векторов а и b.

Для векторов а(0, 2, 3) и b(2, 4, 1) вычислим:

а * b = 0 * 2 + 2 * 4 + 3 * 1 = 0 + 8 + 3 = 11

||а|| = √(0² + 2² + 3²) = √(0 + 4 + 9) = √13

||b|| = √(2² + 4² + 1²) = √(4 + 16 + 1) = √21

Теперь вычислим косинус угла:

cos(θ) = (11) / (√13 * √21) ≈ 0.67

Таким образом, косинус угла между векторами а и b составляет примерно 0.67.

Для нахождения скалярного произведения векторов а и b, используется формула:

а * b = (Xа * Xb) + (Yа * Yb) + (Zа * Zb)

Подставим значения:

а * b = (-6 * 5) + (2 * 4) + (-3 * -1)

= (-30) + 8 + 3

= -19

Таким образом, скалярное произведение векторов а и b равно -19.

Для нахождения периметра четырехугольника ABCD с вершинами А(2, 1, 6), В(4, 0, 3), С(5, 1, 5) и D(2, 6, 3), нужно вычислить длины всех сторон и сложить их.

Длина стороны AB:

dAB = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)

= √((4 - 2)² + (0 - 1)² + (3 - 6)²)

= √(2² + (-1)² + (-3)²)

= √(4 + 1 + 9)

= √14

Длина стороны BC:

dBC = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)

= √((5 - 4)² + (1 - 0)² + (5 - 1)²)

= √(1² + 1² + 4²)

= √18

Длина стороны CD:

dCD = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)

= √((2 - 5)² + (6 - 1)² + (3 - 5)²)

= √((-3)² + 5² + (-2)²)

= √(9 + 25 + 4)

= √38

Длина стороны DA:

dDA = √((X2 - X1)² + (Y2 - Y1)² + (Z2 - Z1)²)

= √((2 - 2)² + (6 - 1)² + (3 - 6)²)

= √(0² + 5² + (-3)²)

= √(0 + 25 + 9)

= √34

Теперь сложим длины всех сторон:

Периметр ABCD = dAB + dBC + dCD + dDA

= √14 + √18 + √38 + √34

Таким образом, периметр четырехугольника ABCD равен приблизительно √14 + √18 + √38 + √34.

Для построения фигуры, симметричной треугольнику NKM относительно:

а) довольно точки О: нужно построить треугольник N'K'M', где каждая вершина N', K', M' будет симметричной соответствующей вершине N, K, M относительно точки О. Для этого нужно отразить каждую координату вершины N, K, M относительно точки О и построить новые вершины.

б) вершины М: нужно построить треугольник N'K'M', где вершина M' будет симметричной вершине М относительно вершины М. Для этого нужно отразить каждую координату вершины М относительно вершины М и построить новую вершину.

в) середины стороны NM: нужно построить треугольник N'K'M', где вершина М' будет симметричной вершине М относительно середины стороны NM. Для этого нужно отразить каждую координату вершины М относительно середины стороны NM и построить новую вершину.

Описанные выше процессы позволят построить фигуры, симметричные треугольнику NKM относительно указанных точек.

Verified answer

Ответ:

С(1; –2; 4 D(–3; 3; 2).

Розв'язання:

1. Координати середини відрізка КМ можна знайти за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де К(0; –4; 8 М(–4; 2; 6):

(0-4)/2 (-4+2)/2 (8+6)/2

Отже координати середини відрізка КМ дорівнюють (-2; -1; 7).

2. Симетрична точка В відносно С буде мати такі ж координати як і точка що лежить на тій ж самій відстані від С що і В тільки в протилежному напрямку. Тому координати шуканої точки дорівнюватимуть:

(4 + (4-6 1 + (1+3 -6 + (-6-2)) = (2; 5; -14).

3. Спочатку потрібно знайти координати точки М яка є серединою відрізка ВС. Це можна зробити за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де В(2; –1; 3 С(5; 3; 2):

(2+5)/2 (-1+3)/2 (3+2)/2

Отже М має координати (3.5; 1; 2.5).

Далі потрібно знайти координати точки N яка є серединою відрізка АМ. Це можна зробити за формулою (х2+х1)/2 (у2+у1)/2 (z2+z1)/2 де А(3; –1; 4 М(3.5; 1; 2.5):

(3+3.5)/2 (-1+1)/2 (4+2.5)/2

Отже N має координати (3.25; 0; 3.25).

Залишилося знайти довжину відрізка НD і подвоїти її щоб отримати периметр чотирикутника.

Відрізок НD має наступні координати:

(3.25 - (-3 (0 - 3 (3.25 - 2)

Тобто (6.25 -3 1.25).

Довжина відрізка НD підраховується за формулою:

√[(6.25-(-3))^2 + (-3-0)^2 + (1.25-2)^2] ≈ 10.8684.

Тому периметр чотирикутника АВСN дорівнює 2*10.8684 ≈ 21.7368.

4. Косинус кута між векторами а і b обчислюється за формулою:

cosα = (a·b)/(||a|| ||b||де a (0; 2; 3 b (2; 4; 1).

Спочатку знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 0*2 +2*4 + 3*1 = 8

Далі знайдемо довжини векторів a і b за формулою:

||a|| = √(0^2 + 2^2 + 3^2) = √13||b|| = √(2^2 + 4^2 + 1^2) = √21.

Підставляємо значення в формулу для косинуса кута і отримуємо:

cosα = (8)/(√13*√21) ≈ 0.7820.

5. Скалярний добуток векторів а і b обчислюa·b = (-6*5) + (2*4) + (-3*(-1)) = -30 + 8 + 3 = -19.

Отже скалярний добуток векторів а і b дорівнює -19.

6. Спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника АВСD. Для цього можна використати формулу відстані між двома точками:

- довжина сторони АВ: √[(4-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-6)^2] = √14- довжина сторони ВС: √[(1-2)^2 + (3-(-1))^2 + (2-3)^2] = √26- довжина сторони СD: √[(1-(-3))^2 + (3-3)^2 + (2-2))^2] = 4- довжина сторони АD: √[(3-(-3))^2 + ((-1)-3)^2 + (4-2))^2] = √72.

Отже периметр чотирикутника АВСD дорівнює: √14 + √26 + 4 + √72 ≈ 19.688.