Ответ:

Точка В належить осі аплікат, тому її координати дорівнюють (t, t, t), де t - параметр.

Використаємо формулу для знаходження рівнобедреного трикутника за векторами:

S = 1/2 * AB * CD * sin(AC, BD),

де AB і CD - відповідні сторони трикутника, AC і BD - відповідні висоти трикутника, sin(AC, BD) - кут між векторами AC і BD.

Знайдемо відповідні вектори:

AB = B - A = (t, t, t) - (1, 1, -2) = (t - 1, t - 1, t + 2).

CD = D - C = (t, t, t) - (-3, 3, 2) = (t + 3, t - 3, t - 2).

Вектори AC і BD є проекціями векторів AB і CD на нормальний вектор до площини трикутника, тож їх можна знайти за допомогою скалярного добутку відповідних векторів і нормального вектора. Нормальний вектор до площини трикутника можна знайти як векторний добуток векторів AB і CD:

n = AB x CD.

nₓ = (t - 1)(t - 2) - (t + 3)(t + 2) = -8,

nᵧ = (t - 1)(t + 2) - (t + 3)(t - 2) = -8t,

nz = (t - 1)(t + 3) - (t + 3)(t - 1) = -8.

Тож n = (-8, -8t, -8).

AC = |AB| * cos(φ),

BD = |CD| * cos(φ),

де φ - кут між векторами AC і BD. Цей кут дорівнює куту між вектором n та вектором AB (або CD), тобто:

cos(φ) = (AB, n) / |AB| / |n|.

(AB, n) = (-8t - 16(t - 1)) + (-8t - 16(t - 1)) - 8(t - 1)(t + 3) = -56t - 104.

|AB| = sqrt((t - 1)² + (t - 1)² + (t + 2)²) = sqrt(3t² + 6t + 6),

|n| = sqrt(64 + 64t² + 64).

Отже,

AC = sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64),

BD = sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64).

P = AC + BD = 2 * sqrt(3t² + 6t + 6) * (-56t - 104) / sqrt(64 + 64t² + 64) і

S = 1/2 * AB * CD * sin(AC, BD) = 1/2 * sqrt(3t² + 6t + 6) * sqrt(3t² + 6t + 6) * sin(φ) = 1/2 * sqrt(3t² + 6t + 6)² * |-1| = 1/2 * (3t² + 6t + 6) = 3/2 * (t² + 2t + 2).

Отже, площа рівнобедреного трикутника АВС з основою АС дорівнює 3/2 * (t² + 2t + 2), де t - параметр вісі аплікат.