a) sin 4x = √2/2

Знаходимо значення аргумента, для якого синус дорівнює √2/2:

sin π/4 = √2/2

Тоді можемо записати:

4x = π/4 + k2π або 4x = 3π/4 + k2π, де k - ціле число

Розв'язуючи перше рівняння відносно x, маємо:

x = (π/4 + k2π)/4 або x = (3π/4 + k2π)/4, де k - ціле число

b) cos 元 = 0.2

Знаходимо значення аргумента, для якого косинус дорівнює 0.2:

arccos 0.2 ≈ 1.36944

Тоді можемо записати:

元 = ±1.36944 + k*2π, де k - ціле число

Доведення тотожності sin(a+ß)-sin(a-ß)cos(a+B)+cos(a-B)=tgß:

Почнемо з лівої частини:

sin(a+ß)-sin(a-ß)cos(a+B)+cos(a-B)

Розкриваємо дужки для sin(a+ß) та sin(a-ß):

(sin a cos ß + cos a sin ß) - (sin a cos ß - cos a sin ß) cos(a+B) + cos(a-B)

Скасовуємо дужки та групуємо доданки:

sin a cos ß + cos a sin ß - sin a cos ß cos(a+B) + cos a sin ß cos(a+B) + cos a cos ß - sin a cos(a-B)

Виділяємо sin ß та cos ß:

sin a (cos ß + cos ß cos(a+B) - cos(a-B)) + cos a (sin ß + sin ß cos(a+B))

Формули для суми та різниці косинусів та синусів:

sin a (2 cos(ß/2) sin(a+B-ß/2)) + cos a (2 sin(ß/2) cos(a+B-ß/2))

Підставляємо вирази для sin(ß/2) та cos(ß/2):

sin a sin ß sin(a+B-ß/2) + cos a cos ß cos(a+B-ß/2)

За формулою для добутку тригонометричних функцій, можемо записати:

cos(ß/2)(cos(a+B-ß/2)cos a + sin(a+B-ß/2)sin a) + sin(ß/2)(sin(a+B-ß/2)cos a - cos(a+B-ß/2)sin a)

За формулами для суми та різниці кутів, можемо записати:

cos(ß/2