2)Для решения уравнения третьей степени можно принять такой способ:
1). Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 . 2). Вторая стадия решения – это деление многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен x – x1. Согласно теореме Безу ( «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) оставшиеся два корня.
Уравнение: x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 .
Р е ш е н и е . Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подстановкой в уравнение.
х 0 1 -1 2 -2 3 -3 4
у -18 -16 -24 -12 -40 0 -72 26
В результате находим, что 3 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 3,
x³ – 2x² + 3x - 18 | x - 3
x³ - 3x² x² + x + 6
x² + 3x - 18
x² - 3x
6x - 18
6x - 18
0
и получаем: x² + x + 6 Теперь, решая квадратное уравнение: x² + x + 6 = 0, ищем другие корни:
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*6=1-4*6=1-24=-23;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 имеет один корень х = 3.
Answers & Comments
1)121x³-22x²+x=0
x(121x²-22x+1)=0
x(11x-1)²=0
x=0 или (11x-1)²=0
11x-1=0
11x=1
x=1/11
Ответ:x=0
x=1/11
2)Для решения уравнения третьей степени можно принять такой способ:
1). Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 . 2). Вторая стадия решения – это деление многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен x – x1. Согласно теореме Безу ( «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) оставшиеся два корня.
Уравнение: x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 .
Р е ш е н и е . Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подстановкой в уравнение.
х 0 1 -1 2 -2 3 -3 4
у -18 -16 -24 -12 -40 0 -72 26
В результате находим, что 3 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 3,
x³ – 2x² + 3x - 18 | x - 3
x³ - 3x² x² + x + 6
x² + 3x - 18
x² - 3x
6x - 18
6x - 18
0
и получаем: x² + x + 6 Теперь, решая квадратное уравнение: x² + x + 6 = 0, ищем другие корни:
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*6=1-4*6=1-24=-23;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 имеет один корень х = 3.