Объяснение:

1. Позначимо катет прямокутного трикутника як АВ, а його проекцію на гіпотенузу як CD. Застосуємо теорему Піфагора:

AB² + BC² = AC²

AB² + 9² = AC² (оскільки CD - проекція АВ на гіпотенузу, то BD - її друга частина, тобто BC = BD - CD = 15 - 9 = 6)

AB² + 81 = AC²

AB² = AC² - 81

Також за подібністю трикутників АВС і АCD маємо:

AB/AC = CD/AC

AB/AC = 9/15

AB = (9/15) * AC

AB = (3/5) * AC

Підставляючи останнє вираз у попереднє рівняння, отримаємо:

(3/5) * AC² = AC² - 81

2AC²/5 = 81

AC² = 202.5

AC ≈ 14.22 см

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює близько 14.22 см.

2. Оскільки трикутник АС рівнобедрений, то АК є бісектрисою кута САВ. Позначимо основу трикутника АВ як ВС. Застосуємо теорему бісектриси:

AK/CK = AB/CB

12/(CV - 9) = 1

CV - 9 = 12

CV = 21

Отже, основа трикутника АВС дорівнює 21 см.

3. Позначимо сторони прямокутника як AB і BC, а діагональ - BD. Застосуємо теорему Піфагора до трикутників АВЕ і ВСF:

AE² + BE² = AB²

CF² + BF² = BC²

Оскільки АЕ = CF = 6 см, а EF = 9 см, то можемо скласти наступну систему рівнянь:

AE² + BE² = AB²

(AE + EF)² + (BC - EF)² = BC²

Підставляючи в перше рівняння AE = 6, отримаємо:

36 + BE² = AB²

BE² = AB² - 36

Підставляючи в друге рівняння AE = 6 і EF = 9, отримаємо:

15² + (BC - 9)² = BC²

225 + BC² - 18BC + 81 = BC²

18BC = 306

BC = 17

Підставляючи останнє значення у перше рівняння, отримаємо:

BE² = AB² - 36 = AB² - 6²

BE² + 36 = AB²

BE² + 36 = (BD/2)² (оскільки BD - діагональ прямокутника, то BD/2 - його радіус)

BE² + 36 = (BD²)/4

4BE² + 144 = BD²

Підставляючи у це рівняння BC = 17, отримаємо:

4AB² - 576 = 289

4AB² = 865

AB ≈ 10.45

Отже, сторони прямокутника мають довжини близько 10.45 см і 17 см.