1 Для построения описанной окружности треугольника АВС, необходимо найти центр и радиус этой окружности.

Найдем координаты серединных перпендикуляров к каждой стороне треугольника.

Серединная точка стороны АВ:

x = (-2 + 1) / 2 = -0.5, y = (1 + 4) / 2 = 2.5

Уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

y - 2 = (4 - 1) / (1 + 2) * (x + 0.5)

y - 2 = (1/3)x + 1

y = (1/3)x + 3

Серединная точка стороны ВС:

x = (1 + 4) / 2 = 2.5, y = (4 - 1) / 2 = 1.5

Уравнение прямой, проходящей через точки В и С:

y - 4 = (-1 - 4) / (4 - 1) * (x - 1)

y - 4 = -1.67x + 6.67

y = -1.67x + 10.67

Серединная точка стороны СА:

x = (-2 + 4) / 2 = 1, y = (1 - 1) / 2 = 0

Уравнение прямой, проходящей через точки С и А:

y + 1 = (1 - (-2)) / (-2 - 4) * (x - 4)

y + 1 = -0.5x + 3.5

y = -0.5x + 2.5

Теперь найдем точку пересечения перпендикуляров. Решая систему уравнений двух прямых, получаем:

(1/3)x + 3 = -1.67x + 10.67

x = 2.67

y = (1/3) * 2.67 + 3 = 3.5

Таким образом, центр описанной окружности находится в точке (2.67, 3.5).

Чтобы найти радиус, нужно найти расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника. Например, от точки А:

r = √((2.67 - (-2))^2 + (3.5 - 1)^2) = √((4.67)^2 + (2.5)^2) ≈ 5.32

Теперь можно построить окружность с центром в точке (2.67, 3.5) и радиусом 5.32, проходящую через вершины треугольника АВС.

2 Для побудови дотичної до кола, яка проходить через дані точки, необхідно спочатку знайти середню точку між ними, яка буде на відстані рівній радіусу кола. Потім будуємо промінь, що проходить через середню точку та центр кола. Цей промінь перетинає коло в точках дотику, а дотична до кола, що проходить через ці точки, є шуканою дотичною.

Отже, процедура побудови дотичної до кола через дані точки виглядає наступним чином:

Знайти середню точку між двома даними точками.

Обчислити відстань від середньої точки до центра кола.

Провести промінь через середню точку та центр кола.

Знайти точки перетину променя та кола.

Провести дотичну до кола через ці точки.

Візьмемо для прикладу коло з центром в точці (0, 0) та радіусом 2, і дві точки всередині кола: А(-1, 1) та В(1, -1). Тоді процедура побудови дотичної буде мати наступні кроки:

Середня точка між А та В буде (0, 0).

Відстань від центру кола до середньої точки дорівнює радіусу, тобто 2.

Промінь, що проходить через центр кола (0,0) та середню точку (0,0), має рівняння x = 0 (оскільки це вертикальний промінь).

Знайдемо точки перетину цього променя та кола:

x = 0, тому рівняння кола зводиться до y^2 = 4, звідки y = ±2.

Точки перетину променя та кола будуть (0, 2) та (0, -2).

Проведемо дотичні до кола через ці точки. Оскільки ці точки лежать на вертикальній лінії, то дотичні до кола будуть горизонтальними лініями, що проходять через ц