Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Пускай произведение в одной группе будет равно [tex]A[/tex], а произведение в другой группе будет равно [tex]B[/tex]. Так как произведение второй группы делится на произведение первой, [tex]B=A*n[/tex]. А поскольку произведение обеих групп будет равно произведению всех чисел, которое, кстати говоря, равно [tex]1*2*3\dots*9=9! = 362880[/tex], имеем

[tex]n=\frac{B}{A}=\frac{B*B}{A*B}=\frac{B^2}{362880}[/tex].

То есть, такое разбитие возможно тогда и только тогда, когда [tex]B^2[/tex] делится на [tex]362880[/tex].

Теперь рассмотрим множители [tex]B^2[/tex] (а потом рассмотрим и множители самого числа [tex]B[/tex]). Поскольку оно делится на [tex]362880[/tex], все множители этого числа являются также и множителями [tex]B^2[/tex].

Разложим на множители [tex]362880=9![/tex]. Итак, [tex]362880 = 9! = 2*3*4*5*6*7*8*9=2*3*2^2*5*2*3*7*2^3*3^2=(2*2^2*2*2^3)*(3*3*3^2)*5*7=2^7*3^4*5*7[/tex].

Теперь, воспользуясь этим, найдём множители [tex]B[/tex].

Итак, двойка входит в [tex]B[/tex] как минимум 4 раза (потому что уже[tex](2^3)^2 = 2^6 < 2^7[/tex], следовательно, в множителях [tex]B^2[/tex] было бы меньше двоек, чем 7, следовательно, оно не делилось бы на [tex]362880[/tex])

Аналогично тройка входит в [tex]B[/tex] как минимум 2 раза, а 5 и 7 - как минимум один раз.

Однако, чтобы [tex]B[/tex] делилось на 5 и 7, какие-то числа от 2 до 9, которые мы использовали, чтобы получить [tex]B[/tex], должны делится на 5 и на 7 (одно какое-то число делится на 5, другое на 7). Но единственные числа, которые есть среди начальных и делятся на 5 или на 7 - это сами 5 и 7!

Следовательно, чтобы получить эту группу, нам обязательно надо использовать числа 5 и 7!!

Итак, теперь осталось найти остальные два (или три) числа, которые использовались, чтобы составить группу [tex]B[/tex]. Рассмотрим множители числа [tex]\frac{B}{5*7}[/tex] - это как минимум четыре двойки и как минимум две тройки.

То есть, [tex]\frac{B}{5*7}[/tex] делится на [tex]2^4*3^2=16*9=144[/tex].

Наибольшее возможное произведение двух различных чисел, меньших или равных 9, равно [tex]8*9=72[/tex]. Cледовательно, в группе [tex]B[/tex] пять чисел, а нам осталось найти три.

Наша задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти три разных числа от 1 до 9 включительно (7 и 5 использовать нельзя), произведение которых делится на 144.

Чтобы наше произведение имело в множителях две тройки, надо использовать либо 3 и 6 одновременно, либо 9. Если мы используем 3 и 6 одновременно, у нас останется только 1 число, которое должно делится на [tex]\frac{144}{3*6}=8[/tex]. Такое число всего одно, и оно равно 8.

То есть, найдено одно решение - [tex]B =\{3,6,8,5,7\}, A=\{1,2,4,9\}[/tex], а во всех остальных решениях в [tex]B[/tex] входит также и число 9.

Итак, осталось всего лишь навсего найти два числа, произведение которых делится на [tex]\frac{144}{9}=16[/tex].

Для этого разложим 16 на множители: [tex]16 = 2^4[/tex]. Следовательно, чтобы произведение двух чисел имело в себе хотя бы четыре двойки, одно из чисел должно иметь в себе хотя бы две двойки (сумма двух чисел, меньших 2, меньше, чем 2+2=4).

Таких чисел только два: это 4 и 8.

Допустим, что одно из чисел равно 4. Тогда второе число делится на [tex]\frac{16}{4}=4[/tex] и оно точно равно 8.

Допустим, что одно из чисел равно 8. Тогда второе число делится на [tex]\frac{16}{8}=2[/tex] и оно равно либо 2, либо 4, либо 6. Однако вариант, когда это число равно 4, мы уже учли. Следовательно, остались остальные два варианты.

Чтобы было понятнее, запишем эти варианты:

1. [tex]B = \{3,5,6,7,8\}, A = \{1,2,4,9\};[/tex]
2. [tex]B=\{4,5,7,8,9\},A = \{1,2,3,6\};\\[/tex]
3. [tex]B=\{2,5,7,8,9\},A=\{1,3,4,6\};[/tex]
4. [tex]B=\{5,6,7,8,9\},A=\{1,2,3,4\};[/tex]

Итак, ответ: этих вариантов всего 4.