Ответ:

1. Корни уравнений:

а) [tex]\boldsymbol{\boxed{x = 1}}[/tex]

б) [tex]\boldsymbol{\boxed{x \in \varnothing}}[/tex]

2. Производные функций:

а) [tex]\boldsymbol{\boxed{y' = 6x^{2} - 2}}[/tex]

б) [tex]\boldsymbol{\boxed{y' = 5x^{4} - 4x^{3}}}[/tex]

Примечание:

По таблице производных:

[tex]\boxed{x^{n} = nx^{n - 1}}[/tex]

[tex]\boxed{C' = 0}[/tex], где [tex]C \in \mathbb R[/tex]

По правилам дифференцирования:

[tex](kf)' = kf'[/tex], где [tex]k \in \mathbb R[/tex]

Пошаговое объяснение:

1.

а)

[tex]3^{2x} - 2 \cdot 3^{x} - 3 = 0[/tex]

[tex](3^{x})^{2} - 2 \cdot 3^{x} - 3 = 0[/tex]

Замена:

[tex]3^{x} = t; t > 0[/tex]

--------------------------

[tex]t^{2} - 2t - 3 = 0[/tex]

[tex]D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^{2}[/tex]

[tex]\boxed{t_{1} = \dfrac{2 + 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3}[/tex]

[tex]t_{1} = \dfrac{2 - 4}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0[/tex]

[tex]3^{x} = 3^{1} \Longleftrightarrow x =1[/tex]

б)

[tex]\lg(3x - 1) = \lg 5 + \lg(x + 5)[/tex]

ОДЗ: [tex]\displaystyle \left \{ {{3x - 1 > 0} \atop {x+ 5 > 0}} \right \ \left \{ {{3x > 1|:3} \atop {x > -5}} \right \ \left \{ {{x > \dfrac{1}{3} } \atop {x > -5}} \right \Longrightarrow \boxed{ x \in \bigg (\frac{1}{3};+ \infty \bigg) }[/tex]

[tex]\lg(3x - 1) = \lg(5(x + 5)) \Longleftrightarrow 3x - 1 = 5(x + 5)[/tex]

[tex]3x - 1 = 5x + 25[/tex]

[tex]-2x = 26|:(-2)[/tex]

[tex]x = -13[/tex], но согласно ОДЗ [tex]x \in \bigg (\dfrac{1}{3};+ \infty \bigg)[/tex] и так как:

[tex]-13 \cap \bigg (\dfrac{1}{3};+ \infty \bigg) = \varnothing \Longrightarrow x \in \varnothing[/tex]

2.

а)

[tex]y = 2x^{3} - 2x + 4[/tex]

[tex]y' = (2x^{3} - 2x + 4)' = (2x^{3})' - (2x)' + (4)' = 2(x^{3})' - 2(x)' + 0 =[/tex]

[tex]= 2 \cdot 3x^{2} - 2 \cdot 1 = 6x^{2} - 2[/tex]

б)

[tex]y = x^{4}(x - 1)[/tex]

[tex]y' = (x^{4}(x - 1))' = (x^{5} - x^{4})' = (x^{5})' - (x^{4})' = 5x^{4} - 4x^{3}[/tex]