Ответ:

1,2,4-верно

3-не с деепричастиями пишется раздельно.
5-числительное с предлогом пишется раздельно

Варианты ответов, в которых дано верное объяснение написания выделенного слова:

1) ЧЁРНЫЙ - в корне слова после шипящего пишется буква Е, так как можно подобрать однокоренное слово с буквой Е.

2) ПОДЫСКАТЬ - после русскоязычной приставки, оканчивающейся на согласный, пишется буква Ы.

4) НАСТЕЖЬ (открыть дверь) - на конце наречия после шипящего пишется буква Ь.

__________

3) НЕ ДУМАЯ - частица НЕ с глаголом пишется раздельно. Неверно.

✓ частица НЕ с деепричастием пишется раздельно

5) ПО ДВОЕ (шли) - имя существительное с предлогом пишется раздельно. Неверно.

✓ Наречия, образованные от собирательных числительных с предлогом ПО, пишутся раздельно.