Находим расстояние от точки B(−4, −1, 2) до прямой L0:
L0: x + 1
−4
= y + 2
8
= z − 4
−8
(1)
Решение.
Чтобы найти расстояние от точки B до прямой L0 нужно:
• найти плоскость α, проходящей через точку B перпендикулярной прямой L0
• найти точку M1, которая является пересечением плоскости α с прямой L0.
• Найти расстояние между точками B и M1.
Уравнение плоскости α, проходящей через точку B(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A · x − x0
+ B · y − y0
+ C · z − z0
=0
(2)
Направляющий вектор прямой L0 имеет следующие координаты:
q0={m0, p0, l0}={−4, 8, −8} (3)
Для того, чтобы плоскость (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n={A, B, C} плоскости (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора плоскости (2) можно взять вектор {m0, p0, l0}={−4, 8, −8}. Подставим координаты вектора q0 и координаты точки B в (2):
−4
(x − ( −4
)
) + 8
(y − ( −1
)
) −8
(z − 2
) =0
После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой L0:
−4
x + 8
y −8
z + 8
=0.
(4)
Для нахождения точки пересечения прямой (1) и плоскости (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).
Составим параметрическое уравнение прямой:
t= x + 1
−4,
t= y + 2
8,
t= z − 4
−8
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
x= −1
− 4
t ,
y= −2
+ 8
t ,
z= 4
− 8
t .
(5)
Подставим значения x, y, z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.
−4
( −4
t −1
) + 8
( 8
t −2
) −8
( −8
t + 4
) + 8
= 0
16
t + 64
t + 64
t + 4
−16
−32
+ 8
= 0
t= 1/4
Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки M1:
Answers & Comments
Verified answer
Заданы координаты вершин треугольника А (-1;-2;4), В (-4;-1;2) и С (-5;6;-4). Найдите длину высоты ВD.
Находим уравнение стороны АC по точкам А (-1;-2;4) и С (-5;6;-4).
Вектор АC = (-5-(-1); 6-(-2); -4-4) = (-4; 8; -8).
Уравнение прямой АС (пусть она будет L0):
(х + 1)/(-4) = (у + 2)/8 = (z – 4)/(-8).
Находим расстояние от точки B(−4, −1, 2) до прямой L0:
L0: x + 1
−4
= y + 2
8
= z − 4
−8
(1)
Решение.
Чтобы найти расстояние от точки B до прямой L0 нужно:
• найти плоскость α, проходящей через точку B перпендикулярной прямой L0
• найти точку M1, которая является пересечением плоскости α с прямой L0.
• Найти расстояние между точками B и M1.
Уравнение плоскости α, проходящей через точку B(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A · x − x0
+ B · y − y0
+ C · z − z0
=0
(2)
Направляющий вектор прямой L0 имеет следующие координаты:
q0={m0, p0, l0}={−4, 8, −8} (3)
Для того, чтобы плоскость (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n={A, B, C} плоскости (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора плоскости (2) можно взять вектор {m0, p0, l0}={−4, 8, −8}. Подставим координаты вектора q0 и координаты точки B в (2):
−4
(x − ( −4
)
) + 8
(y − ( −1
)
) −8
(z − 2
) =0
После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой L0:
−4
x + 8
y −8
z + 8
=0.
(4)
Для нахождения точки пересечения прямой (1) и плоскости (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).
Составим параметрическое уравнение прямой:
t= x + 1
−4,
t= y + 2
8,
t= z − 4
−8
Выразим переменные x, y, z через параметр t :
x= −1
− 4
t ,
y= −2
+ 8
t ,
z= 4
− 8
t .
(5)
Подставим значения x, y, z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.
−4
( −4
t −1
) + 8
( 8
t −2
) −8
( −8
t + 4
) + 8
= 0
16
t + 64
t + 64
t + 4
−16
−32
+ 8
= 0
t= 1/4
Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки M1:
M1(−2,0,2).
Вычислим расстояние между точками B и M1
|BM1|=√(−4−(−2))²+(−1−0)²+(2−2)²
|BM1|=√(−2)²+(−1)²+(0)²) =√5
Ответ: Расстояние от точки B до прямой (1):
|BM1| =√5 ≈ 2,23606797.
Текст с лучшим форматированием дан во вложении.