Ответ:

Объяснение:

Розглянемо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом при вершині С. Позначимо через r радіус кола, вписаного в цей трикутник, через p - півпериметр (півсума довжин сторін трикутника), а через a, b, c - довжини сторін трикутника.

Оскільки коло вписане в трикутник, то до будь-якої точки кола можна провести кільцевий тангент, який буде паралельним відповідній стороні трикутника та буде дотикатися до кола. Таким чином, ми можемо побачити, що відрізок дотику тангента до кола до сторони трикутника є відрізком серединної перпендикулярної лінії.

За теоремою Піфагора маємо:

a^2 + b^2 = c^2,

де c - гіпотенуза трикутника.

З іншого боку, півпериметр p дорівнює:

p = (a + b + c)/2.

Так як радіус вписаного кола дорівнює:

r = (площа трикутника) / p,

а площа трикутника може бути обчислена за формулою Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

то можемо виразити радіус кола як:

r = √((p-a)(p-b)(p-c))/p.

Для даного прямокутного трикутника маємо:

a = AC = 32,

b = BC = 24,

c = AB = 40.

Тоді

p = (a + b + c)/2 = 48,

та

(p-a)(p-b)(p-c) = (16)(24)(8) = 3072.

Отже,

r = √((p-a)(p-b)(p-c))/p = √(3072)/48 = 4.

Отже, радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник АВС, дорівнює 4.