Пусть основания трапеции равны a и b (где a > b), а высота равна h. Также пусть средняя линия равна m.

Так как острый угол между диагональю и основанием равен 45°, то мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты m/2 и h/2.

Тогда мы можем записать:

a = (m/2) / sin(45°) + b

b = (m/2) / sin(45°) - a

Также мы знаем, что средняя линия равна:

m = (a + b) / 2

Сочетая эти уравнения, мы можем выразить a и b через m:

a = m + (m/2) / sin(45°)

b = m - (m/2) / sin(45°)

Теперь мы можем найти высоту h, используя теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников:

(h/2)^2 + (m/2)^2 = a^2

(h/2)^2 + (m/2)^2 = (m + (m/2) / sin(45°))^2

h^2 + m^2 = 4m^2 + 4m^2/sin^2(45°)

h^2 = 6m^2 - 2m^2/sin^2(45°)

h = sqrt(6)m/sin(45°)

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

S = (a + b)h / 2

S = ((m + (m/2) / sin(45°)) + (m - (m/2) / sin(45°))) * sqrt(6)m/sin(45°) / 2

S = m^2 * sqrt(6) / sin(45°)

S = m^2 * sqrt(3)

Используя значение средней линии m = 10 см, мы получаем:

S ≈ 17.32 см^2

Ответ: площадь равнобедренной трапеции равна примерно 17.32 см^2.