Ответ:
1) х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)
2) х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)
или [tex]\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)[/tex]
3) х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)
4) х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)
Пошаговое объяснение:
Раскладывать многочлен на множители можно разными способами.
Мы применим некоторые из них.
1) х³-4х²+х+6
Здесь применим следствие из теоремы Безу
Делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6
просто подставляем эти значения в формулу
1 1-4+1+6 ≠ 0
-1 -1-4-1+6 = 0 - это корень уравнения
2 8-16+2+6 = 0- это корень уравнения
-2 -8-16-2+6 ≠ 0
3 27-36+3+6 = 0 - это корень уравнения
-3 -27-36-3+6≠0
6 216-144+6+6 ≠0
-6 -216-144-6+6 ≠ 0
Наше уравнение имеет три корня, мы их нашли
х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)
2) х⁴+5х²-6
Здесь решаем так же, как номер 1)
1 1+5-6 = 0 - это корень уравнения х = 1
-1 поскольку в уравнении только положительные степени, х = (-1) - это тоже корень уравнения
2 16 + 20 -6 ≠ 0
аналогично (-2) не корень уравнения
3 81 +45-6 ≠ 0
(-3) тоже не корень уравнения
6 и -6 явно не будут корнями.
Таким образом, мы нашли два целых действительных корня.
1 и (-1).
Следовательно, два первых сомножителя (х-1)(х+1) а это есть (x²-1) как разность квадратов
Разделим многочлен х⁴+5х²-6 на (x²-1)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & +5x^2 & -6 & & & & \;x^2-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^2 & & & & & \; x^2+6\\\cline{1-5} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{1-1} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{3-6} & & & & & 0 \\\end{array}[/tex]
Итак, мы получили х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)
x² + 6 не имеет рациональных корней.
Значит, наше разложение по рациональным корням верное.
Добавим иррациональные корни и получим
[tex]\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)[/tex]
3) х⁴-2х³-6х²+5х+2
Уравнение имеет 4 корня.
Делители свободного члена ±1; ±2;
1 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0 - это корень уравнения
-1 1 + 2 - 6 - 5 + 2 ≠ 0
2 16 - 16 - 24 + 10 +2 ≠ 0
-2 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0 это корень уравнения
Таким образом, есть два целочисленных корня уравнения
(x -1)(x + 2)
(x -1)(x + 2) = x² + x - 2
Разделим исходный многочлен на ( x² + x - 2)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & -2x^3 & -6x^2 & +5x& +2& & \;x^2+x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & +x^3 & -2x^2 & & & & \; x^2-3x-1\\\cline{1-4} & & -3x^3& +4x^2 & +5x& \\\cline{1-1} & & -3x^3& -3x^2 & +6x& \\\cline{3-5} & & & x^2& -x& +2\\\cline {1-1} & & & x^2& -x& +2\\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}[/tex]
Мы нашли третий сомножитель.
Легко проверить, что (x² -3x -1) не имеет целочисленных корней.
Поэтому наш ответ
х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)
4) х⁴+х³-7х²-х+6
Здесь можно так же рассматривать сомножители свободного члена.
Но мы пойдем другим путем.
Используем другое следствие из теоремы Безу
В нашем уравнении это условие выполняется. Следовательно х = 1 - это один корень уравнения
Делим исходное уравнение на (х - 1)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 &x^3 & -7x^2 & -x& +6& & \;x-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^3 & & & & & \; x^3-2x^2-5x-6\\\cline{1-3} & & 2x^3& -7x^2 & & \\\cline{1-1} & & 2x^3& -2x^2 & & \\\cline{3-4} & & & -5x^2& -x& \\\cline {1-1} & & & -5x^2& +5x& \\\cline {4-5} &&&&-6x&+6\\\cline {1-1}&&&&-6x&+6\\\cline {5-6} & & & && 0\\\\\end{array}[/tex]
Дальше раскладываем на множители частное x³ - 2x² -5x -6/
Cвободный член имеет сомножители ±1; ±2; ±3; ±6
Найдем один из корней
1 1 +2 - 5 -6 ≠ 0
-1 -1 -2 + 5 - 6 ≠ 0
2 8 + 8 -10 -6 = 0 - это второй корень исходного уравнения х = 2
Делим частное (x³ -2x² -5x -6) на (х - 2)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^3 & -+2x^2 & -5x & -6&& & \;x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^3 & -2x^2 && & & & \; x^2+4x+3\\\cline{1-3} & & 4x^2& -5x & & \\\cline{1-1} & & 4x^2& -8x & & \\\cline{3-4} & & & 3x&-6& \\\cline {1-1} & & & 3x& -6& \\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}[/tex]
Теперь в полученном частном выделим полный квадрат
x² + 4x + 3 = (x² + 4x +4) -4 +3 = (x + 2)² -1 это разность квадратов.
Распишем ее по формуле разности квадратов
(x + 2)² -1 = (x + 2 +1)(x + 2 - 1) = (x + 3) (x + 1)
Таким образом, мы нашли еще два корня исходного уравнения
х = -3 и х = - 1
И все наше уравнение раскладывается на множители так:
х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
1) х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)
2) х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)
или [tex]\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)[/tex]
3) х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)
4) х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)
Пошаговое объяснение:
Раскладывать многочлен на множители можно разными способами.
Мы применим некоторые из них.
1) х³-4х²+х+6
Здесь применим следствие из теоремы Безу
Делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6
просто подставляем эти значения в формулу
1 1-4+1+6 ≠ 0
-1 -1-4-1+6 = 0 - это корень уравнения
2 8-16+2+6 = 0- это корень уравнения
-2 -8-16-2+6 ≠ 0
3 27-36+3+6 = 0 - это корень уравнения
-3 -27-36-3+6≠0
6 216-144+6+6 ≠0
-6 -216-144-6+6 ≠ 0
Наше уравнение имеет три корня, мы их нашли
х³-4х²+х+6 = (х+1)(х-2)(х-3)
2) х⁴+5х²-6
Здесь решаем так же, как номер 1)
Делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6
1 1+5-6 = 0 - это корень уравнения х = 1
-1 поскольку в уравнении только положительные степени, х = (-1) - это тоже корень уравнения
2 16 + 20 -6 ≠ 0
аналогично (-2) не корень уравнения
3 81 +45-6 ≠ 0
(-3) тоже не корень уравнения
6 и -6 явно не будут корнями.
Таким образом, мы нашли два целых действительных корня.
1 и (-1).
Следовательно, два первых сомножителя (х-1)(х+1) а это есть (x²-1) как разность квадратов
Разделим многочлен х⁴+5х²-6 на (x²-1)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & +5x^2 & -6 & & & & \;x^2-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^2 & & & & & \; x^2+6\\\cline{1-5} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{1-1} & & 6x^2& -6 & & \\\cline{3-6} & & & & & 0 \\\end{array}[/tex]
Итак, мы получили х⁴+5х²-6 = (x - 1)(x+ 1)(x² + 6)
x² + 6 не имеет рациональных корней.
Значит, наше разложение по рациональным корням верное.
Добавим иррациональные корни и получим
[tex]\displaystyle x^4+5x^2-6 = (x - 1)(x+ 1)(x - \sqrt{6} i)(x+\sqrt{6} i)[/tex]
3) х⁴-2х³-6х²+5х+2
Уравнение имеет 4 корня.
Делители свободного члена ±1; ±2;
1 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0 - это корень уравнения
-1 1 + 2 - 6 - 5 + 2 ≠ 0
2 16 - 16 - 24 + 10 +2 ≠ 0
-2 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0 это корень уравнения
Таким образом, есть два целочисленных корня уравнения
(x -1)(x + 2)
(x -1)(x + 2) = x² + x - 2
Разделим исходный многочлен на ( x² + x - 2)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 & -2x^3 & -6x^2 & +5x& +2& & \;x^2+x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & +x^3 & -2x^2 & & & & \; x^2-3x-1\\\cline{1-4} & & -3x^3& +4x^2 & +5x& \\\cline{1-1} & & -3x^3& -3x^2 & +6x& \\\cline{3-5} & & & x^2& -x& +2\\\cline {1-1} & & & x^2& -x& +2\\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}[/tex]
Мы нашли третий сомножитель.
Легко проверить, что (x² -3x -1) не имеет целочисленных корней.
Поэтому наш ответ
х⁴-2х³-6х²+5х+2 = (x - 1)(x + 2)(x² - 3x -1)
4) х⁴+х³-7х²-х+6
Здесь можно так же рассматривать сомножители свободного члена.
Но мы пойдем другим путем.
Используем другое следствие из теоремы Безу
В нашем уравнении это условие выполняется. Следовательно х = 1 - это один корень уравнения
Делим исходное уравнение на (х - 1)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^4 &x^3 & -7x^2 & -x& +6& & \;x-1 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^4 & -x^3 & & & & & \; x^3-2x^2-5x-6\\\cline{1-3} & & 2x^3& -7x^2 & & \\\cline{1-1} & & 2x^3& -2x^2 & & \\\cline{3-4} & & & -5x^2& -x& \\\cline {1-1} & & & -5x^2& +5x& \\\cline {4-5} &&&&-6x&+6\\\cline {1-1}&&&&-6x&+6\\\cline {5-6} & & & && 0\\\\\end{array}[/tex]
Дальше раскладываем на множители частное x³ - 2x² -5x -6/
Cвободный член имеет сомножители ±1; ±2; ±3; ±6
Найдем один из корней
1 1 +2 - 5 -6 ≠ 0
-1 -1 -2 + 5 - 6 ≠ 0
2 8 + 8 -10 -6 = 0 - это второй корень исходного уравнения х = 2
Делим частное (x³ -2x² -5x -6) на (х - 2)
[tex]\arraycolsep=0.05em\begin{array}{c c c c r r @{\;}l | l}& x^3 & -+2x^2 & -5x & -6&& & \;x-2 \\\cline{1-1}\cline{8-8}~ & x^3 & -2x^2 && & & & \; x^2+4x+3\\\cline{1-3} & & 4x^2& -5x & & \\\cline{1-1} & & 4x^2& -8x & & \\\cline{3-4} & & & 3x&-6& \\\cline {1-1} & & & 3x& -6& \\\cline {4-6} & & & & & 0\\\\\end{array}[/tex]
Теперь в полученном частном выделим полный квадрат
x² + 4x + 3 = (x² + 4x +4) -4 +3 = (x + 2)² -1 это разность квадратов.
Распишем ее по формуле разности квадратов
(x + 2)² -1 = (x + 2 +1)(x + 2 - 1) = (x + 3) (x + 1)
Таким образом, мы нашли еще два корня исходного уравнения
х = -3 и х = - 1
И все наше уравнение раскладывается на множители так:
х⁴+х³-7х²-х+6 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 3)