1) Ответ: (3; 1; 4)

Пошаговое решение: составим основную матрицу и найдем определитель

[tex]\Delta =\left[\begin{array}{ccc}4&-1&1\\1&1&1\\2&-1&3\end{array}\right] =4*1*3+1*1*(-1)+2*(-1)*1-[/tex]

[tex]-(2*1*1+1*(-1)*3+4*(-1)*1)=12-1-2-(2-3-4)=9-(-5)=9+5=14[/tex]

Δ ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение. Теперь найдем вспомогательные определители путем замены столбец основной матрицы на вектор свободных членов:

[tex]B=\left[\begin{array}{ccc}15\\8\\17\end{array}\right][/tex]

[tex]\Delta_{1} =\left[\begin{array}{ccc}15&-1&1\\8&1&1\\17&-1&3\end{array}\right] =15*1*3+8*1*(-1)+17*(-1)*1-[/tex]

[tex]-(17*1*1+8*(-1)*3+15*(-1)*1)=45-8-17-(17-24-15)=[/tex]

[tex]=20-(-22)=20+22=42[/tex]

[tex]\Delta_{2} =\left[\begin{array}{ccc}4&15&1\\1&8&1\\2&17&3\end{array}\right] =4*8*3+1*17*1+2*15*1-[/tex]

[tex]-(2*8*1+1*15*3+4*17*1)=96+17+30-(16+45+68)=143-129=14[/tex]

[tex]\Delta_{3} =\left[\begin{array}{ccc}4&-1&15\\1&1&8\\2&-1&17\end{array}\right] =4*1*17+1*15*(-1)+2*(-1)*8-[/tex]

[tex]-(2*1*15+1*(-1)*17+4*(-1)*8)=68-15-16-(30-17-32)=[/tex]

[tex]=37-(-19)=37+19=56[/tex]

Неизвестные x, y и z находятся как:

[tex]x=\frac{\Delta_{1} }{\Delta}[/tex]          [tex]y=\frac{\Delta_{2} }{\Delta}[/tex]          [tex]z=\frac{\Delta_{3} }{\Delta}[/tex]

Найдем их:

[tex]x=\frac{42}{14} =3[/tex]

[tex]y=\frac{14}{14} =1[/tex]

[tex]z=\frac{56}{14} =4[/tex]

2) Ответ: (-10; 7; 6)

Пошаговое решение: составим расширенную матрицу:

[tex]\left[\begin{array}{ccccc}-2&-3&1&|&5\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right][/tex]

Теперь эту матрицу приведем к такому виду, чтобы числа под главной диагональю были равны 0. Для начала, (1) строку умножаем на -1 и отнимаем (2) строку и запишем вместо (1) строки, для удобства. От (2) строки отнимаем (1) и результат запишем вместо (2) строки. (1) и (3) строки добавляем и результат пишем вместо (3) строки:

[tex]\left[\begin{array}{ccccc}-2&-3&1&|&5\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&-1&3&|&11\\0&0&-1&|&-6\end{array}\right]=[/tex]

(2) и (3) строки умножаем на -1. Ко (2) добавляем (3), затем от (1) отнимаем (2):

[tex]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&1&-3&|&-11\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&1&-2&|&-5\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&|&-3\\0&1&-2&|&-5\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=[/tex]

И опять, ко (2) добавляем (3), затем от (1) отнимаем (2):

[tex]=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&|&-3\\0&1&-1&|&1\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&|&-4\\0&1&-1&|&1\\0&0&1&|&6\end{array}\right][/tex]

Ранг основной матрицы равняется рангу расширенной матрицы, значит эта система имеет решение.

Идем от обратного, находя неизвестные. Найдем через третью строку неизвестную z:

[tex]0*x+0*y+z=6[/tex]

[tex]z=6[/tex]

Подставляем значение z ко второй строке и найдем y:

[tex]0*x+y-1*6=1[/tex]

[tex]y-6=1[/tex]

[tex]y=1+6[/tex]

[tex]y=7[/tex]

Значения y и z подставляем к первой строке и находим x:

[tex]x+0*7+6=-4[/tex]

[tex]x=-4-6[/tex]

[tex]x=-10[/tex]

x, y, z = (-10; 7; 6)