Дано уравнение:

5 - 4cos²x - 4sinx = 0

Перепишем это уравнение в более удобном виде, заменив cos²x на 1 - sin²x:

5 - 4(1 - sin²x) - 4sinx = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 - 4sin²x - 4sinx = 0

Перенесем одну часть уравнения на другую:

1 - 4sin²x = 4sinx

Приведем подобные слагаемые и перенесем все на одну сторону:

4sin²x + 4sinx - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sinx. Решим его, используя формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = 4² - 4·4·(-1) = 32

sinx = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √32) / 8 = (-1 ± √2) / 2

Таким образом, уравнение имеет два корня:

sinx = (-1 + √2) / 2 или sinx = (-1 - √2) / 2

Чтобы найти значения x, необходимо использовать арксинус:

x = arcsin [(-1 + √2) / 2] или x = arcsin [(-1 - √2) / 2]

При этом следует учитывать, что существует бесконечное множество значений x, отличных друг от друга на 2πk, где k - целое число. Таким образом, общее решение уравнения можно записать в виде:

x = π/4 + 2πk, либо x = 5π/4 + 2πk

где k - целое число.