х⁴ + 1 = 0

x^4=1

x=+-1

......

Ответ:

[tex]x=\pm\dfrac{1}{\sqrt 2}\pm\dfrac{1}{\sqrt 2}i[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]x^4+1=0\\x^4=-1\\x=\sqrt[4]{-1}\\x=\sqrt{\sqrt{-1}}\\x=\sqrt i\\[/tex]

Что такое [tex]\sqrt{i}[/tex]?

Предположим, что [tex]\sqrt i[/tex] в форме [tex]a+bi.[/tex]

[tex]\sqrt i=a+bi\\i=(a+bi)\\i=a^2+2abi-b^2\\i=(a^2-b^2)+(2ab)i\\0+1i=(a^2-b^2)+(2ab)i\\\Downarrow\\\left\{\begin{aligned}a^2-b^2&=0 \quad (1)\\2ab&=1\quad (2)\end{aligned}\right.\\\\(2)\,\,2ab=1\\b=\dfrac{1}{2a}\\\\(1)\,\,a^2-\left(\dfrac{1}{2a}\right)^2=0\\a^2-\dfrac{1}{4a^2}=0\\\\\dfrac{4a^4-1}{4a^2}=0\\4a^4-1=0\\4a^4=1\\a^4=\dfrac{1}{4}\\a=\sqrt[4]{\dfrac{1}{4}}\\a_1=\dfrac{1}{\sqrt 2},\,a_2=-\dfrac{1}{\sqrt 2}\\\\b_1=\dfrac{1}{2a}=\dfrac{1}{2\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\\[/tex]

[tex]b_2=\dfrac{1}{2a}=\dfrac{1}{2\left(-\frac{1}{\sqrt 2}\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt 2}\\\sqrt i=\pm\dfrac{1}{\sqrt 2}\pm\dfrac{1}{\sqrt 2}i[/tex]