№1.

а) У трикутнику кут біля центра описаного кола дорівнює удвічі куту при вершині, тому щоб знайти відповідь, треба спочатку визначити найбільший кут трикутника і поділити його на 2. Нехай x - множник кутів трикутника. Тоді отримаємо систему рівнянь:

7x + 2x + 6x = 180

15x = 180

x = 12

Отже, кути трикутника дорівнюють 84°, 24° та 72°. Центр описаного кола знаходиться на перетині бісектрис.

б) Знову за формулою для кута біля центра кола маємо:

3x + 4x + 5x = 180

12x = 180

x = 15

Отже, кути трикутника дорівнюють 36°, 48° та 96°. Центр описаного кола знаходиться на перетині бісектрис.

в) Аналогічно попереднім варіантам:

x + x + 4x = 180

6x = 180

x = 30

Кути трикутника дорівнюють 30°, 30° та 120°. Центр описаного кола знаходиться на середині діаметра, що проходить через вершину з кутом 120°.

№2. За теоремою про описаний коло в прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Тому радіус описаного навколо трикутника зі сторонами 6 см, 8 см та 10 см дорівнює 5 см.

№3. Аналогічно попередньому варіанту за теоремою про описане коло в прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Тому радіус описаного навколо трикутника зі сторонами 15 см, 20 см та 25 см дорівнює 12,5 см.

№4. Даний трикутник є прямокутним, тому радіус кола, описаного навколо нього, є напівсумою катетів. Таким чином, радіус дорівнює (13+12+5)/2=15 см.

Відповідь: 15 см.

№5. Даний трикутник також є прямокутним, тому радіус кола, описаного навколо нього, є напівдіаметром гіпотенузи. Гіпотенуза дорівнює 15 см, тому радіус кола дорівнює 15/2=7.5 см.

Відповідь: 7.5 см.

№6. Оскільки центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на стороні АС, то кут В дорівнює напівсумі кутів A і C. Отже,

кут B = 180° - кут A - кут C = 180° - 40° - (180° - 40° - кут B/2) = 80°.

Залишилося знайти кут C. Він дорівнює 180° - кути A і B, тобто

кут C = 180° - 40° - 80° = 60°.

Відповідь: кут B = 80°, кут C = 60°.