Так как a + b + c = 1, мы можем заменить a + b на (1 - c) и a + c на (1 - b):
1 - (1 - c + c) + (ab + ac + bc) - abc
Упростим:
ab + ac + bc - abc
Мы можем вынести общий множитель abc из первых трех слагаемых:
ab + ac + bc - abc = abc(a/b + a/c + b/c - 1)
Так как a, b и c неотрицательны, то a/b, a/c и b/c также неотрицательны. Мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом для трех неотрицательных чисел:
(a/b + a/c + b/c) / 3 ≥ (a/b × a/c × b/c)^(1/3)
(a/b + a/c + b/c) ≥ 3(abc)^(1/3)
Таким образом, мы можем заменить a/b + a/c + b/c на 3(abc)^(1/3):
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
Упростим:
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ 3(abc)^(1/3) - 1
Таким образом, мы доказали, что (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc.
Ответ: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc, если a, b и c неотрицательны и a + b + c = 1.
Answers & Comments
Verified answer
Начнем с левой стороны неравенства:
(1-a)(1-b)(1-c)
Раскроем скобки:
1 - a - b + ab - c + ac + bc - abc
Мы можем переписать это выражение в виде:
1 - (a + b + c) + (ab + ac + bc) - abc
Так как a + b + c = 1, мы можем заменить a + b на (1 - c) и a + c на (1 - b):
1 - (1 - c + c) + (ab + ac + bc) - abc
Упростим:
ab + ac + bc - abc
Мы можем вынести общий множитель abc из первых трех слагаемых:
ab + ac + bc - abc = abc(a/b + a/c + b/c - 1)
Так как a, b и c неотрицательны, то a/b, a/c и b/c также неотрицательны. Мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом для трех неотрицательных чисел:
(a/b + a/c + b/c) / 3 ≥ (a/b × a/c × b/c)^(1/3)
(a/b + a/c + b/c) ≥ 3(abc)^(1/3)
Таким образом, мы можем заменить a/b + a/c + b/c на 3(abc)^(1/3):
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
Упростим:
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)
(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ 3(abc)^(1/3) - 1
Таким образом, мы доказали, что (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc.
Ответ: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc, если a, b и c неотрицательны и a + b + c = 1.