Ответ:

1. Для знаходження кута між прямою А1В і СС1 потрібно знайти проекції цих прямих на одну площину і обчислити кут між ними. Нехай площина, на яку проектуємо, проходить через точки А1, B і С. Тоді проекції прямих А1В і СС1 на цю площину будуть просто відрізки А1B і СС1, відповідно. Кут між цими відрізками можна знайти, використовуючи формулу косинуса кута між двома векторами:

cos(∠A1ВСС1) = (A1B ⋅ СС1) / (|A1B| ⋅ |СС1|)

де ⋅ позначає скалярний добуток векторів, а | | позначає модуль вектора. Знаходячи косинус кута, можна знайти сам кут, використовуючи обернену функцію косинуса.

2. Для знаходження кута між прямою А1В і В1С потрібно спочатку знайти вектори цих прямих. Вектор А1В можна знайти, віднімаючи вектор А1А від вектора ВА1. Вектор В1С можна знайти, віднімаючи вектор В1В від вектора СВ1. Потім можна знайти кут між векторами А1В і В1С, використовуючи формулу косинуса кута між двома векторами:

cos(∠А1ВВ1С) = (А1В ⋅ В1С) / (|А1В| ⋅ |В1С|)

де ⋅ позначає скалярний добуток векторів, а | | позначає модуль вектора. Знаходячи косинус кута, можна знайти сам кут, використовуючи обернену функцію косинуса.

3. А1В - діагональ протилежних граней куба, а CD1 - пряма, що лежить на двох паралельних гранях. Для знаходження кута між А1В і CD1 скористаємось теоремою про трикутник, яка говорить, що сума кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів. Тому знайдемо два кути: між А1В і А1D1, а також між ВС і СD1, і візьмемо їх різницю.

За теоремою Піфагора, в кубі діагональ дорівнює стороні, помноженій на √3. Тому А1D1 = AB * √3 = BC * √3, а ВС = CD1 = AB.

З розгляду сусідніх граней куба випливає, що кут між А1В і А1D1 дорівнює 45 градусів, а між ВС і СD1 - також 45 градусів. Таким чином, кут між А1В і CD1 дорівнює їх різниці: 45 градусів - 45 градусів = 0 градусів. Отже, пряма А1В паралельна прямій CD1.