Ответ:

1) Спочатку знаходимо різницю арифметичної прогресії, за формулою an = a1 + (n-1)·d, де d - різниця прогресії:

a2 = a1 + d ⟹ d = a2 - a1 = 1 - (-3) = 4

Отже:

a3 = a2 + d = 1 + 4 = 5

a4 = a3 + d = 5 + 4 = 9

a5 = a4 + d = 9 + 4 = 13

Таким чином, п'ятий член прогресії a5 = 13.

Щоб знайти суму дванадцяти перших членів прогресії, скористаємося формулою Sn = n·(a1 + an)/2:

S12 = 12·(-3+an)/2 = 6·an - 18

Знайдемо значення аn:

an = a1 + (n-1)·d = -3 + 11·4 = 41

Тоді:

S12 = 6·an - 18 = 6·41 - 18 = 234.

2) Знайдемо співвідношення між першим та четвертим членами геометричної прогресії за формулою bn = b1·q^(n-1), де q - знаменник прогресії:

b4 = b1·q^(4-1) ⟹ 16 = 2·q^3 ⟹ q = 2

Тоді десятий член прогресії дорівнює:

b7 = b1·q^(7-1) = 2·2^6 = 128

Щоб знайти суму перших семи членів геометричної прогресії, скористаємося формулою Sn = b1·(q^n - 1)/(q-1):

S7 = 2·(2^7 - 1)/(2-1) = 2·(128 - 1) = 254.

3) Сума додатних членів арифметичної прогресії може бути знайдена за формулою:

Sn = n/2·(2a1 + (n-1)·d)

У відповідному рядку прогресії d = -1. Оскільки членів у рядку непарна кількість, то n = (остача від ділення останнього індексу на 2, плюс 1).

Отже, n = (4 + 1) = 5.

Тоді сума додатних членів ряду:

S5 = 5/2·(2·13 + (5-1)·(-1)) = 5/2·(26 - 4) = 55.