Дана функция y(x)=x³ - 4x² + 5x - 1. Её производная равна: y' = 3x² - 8x + 5. Нули производной: 3x² - 8x + 5 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-8)^2-4*3*5=64-4*3*5=64-12*5=64-60=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√4-(-8))/(2*3)=(2-(-8))/(2*3)=(2+8)/(2*3)=10/(2*3)=10/6=5/3 ≈ 1,66667; x₂=(-√4-(-8))/(2*3)=(-2-(-8))/(2*3)=(-2+8)/(2*3)=6/(2*3)=6/6 = 1. Найдём знаки производной на промежутках (-∞;1), (1;(5/3)) и ((5/3);∞). х = 0, y' = 5. x = 4/3, y' = 3*(16/9) - 8*(4/3) + 5 = (16/3) - (32/3) + 5 = -1/3. x = 2, y' = 3*4 - 8*2 + 5 = 12 -16 + 5 = 1. Где производная меняет знак с + на - там максимум, а где с - на + там минимум. Где производная отрицательна - там функция убывает, где производная положительна - там функция возрастает: на промежутках (-∞;1) и ((5/3);∞) функция возрастает, а промежутке (1;(5/3)) функция убывает.
Answers & Comments
Verified answer
Дана функция y(x)=x³ - 4x² + 5x - 1.Её производная равна:
y' = 3x² - 8x + 5.
Нули производной:
3x² - 8x + 5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-8)^2-4*3*5=64-4*3*5=64-12*5=64-60=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-(-8))/(2*3)=(2-(-8))/(2*3)=(2+8)/(2*3)=10/(2*3)=10/6=5/3 ≈ 1,66667; x₂=(-√4-(-8))/(2*3)=(-2-(-8))/(2*3)=(-2+8)/(2*3)=6/(2*3)=6/6 = 1.
Найдём знаки производной на промежутках (-∞;1), (1;(5/3)) и ((5/3);∞).
х = 0, y' = 5.
x = 4/3, y' = 3*(16/9) - 8*(4/3) + 5 = (16/3) - (32/3) + 5 = -1/3.
x = 2, y' = 3*4 - 8*2 + 5 = 12 -16 + 5 = 1.
Где производная меняет знак с + на - там максимум, а где с - на + там минимум.
Где производная отрицательна - там функция убывает, где производная положительна - там функция возрастает:
на промежутках (-∞;1) и ((5/3);∞) функция возрастает,
а промежутке (1;(5/3)) функция убывает.