1.
Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их
обратных величин не меньше 4.
2.
За каждый удачный выстрел стрелку начисляют 8 очков, а за каждый неудачный –
снимают 27 очков. Сделав меньше 40 выстрелов, стрелок набрал 97 очков. Сколько
удачных и сколько неудачных выстрелов он сделал?
Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их
обратных величин не меньше 4.
2.
За каждый удачный выстрел стрелку начисляют 8 очков, а за каждый неудачный –
снимают 27 очков. Сделав меньше 40 выстрелов, стрелок набрал 97 очков. Сколько
удачных и сколько неудачных выстрелов он сделал?
Answers & Comments
(х+у)*(1/х+1/у)=х*1/х+х*1/у+у*1/х+у*1/у=1+х/у+у/х+1=2+х/у+у/х
Пусть х<y, тогда y/x=1+(y-x)/x>1
Рассмотрим теперь сумму (y-x)/x+x/y=(y*y-x*y+x*x)/(x*y)=(y*y-x*(y-x))/(x*y)=
представим у=у+х-х тогда =(у*(у+х-х)-х*(у-х))/(х*у)=(у*(у-х)+х*у-х*(у-х))/(х*у)=((у-х)*(у-х)+х*у)/(х*у)=(у-х)*(у-х)/(х*у)+х*у/(х*у)=(у-х)*(у-х)/(х*у)+1
Мы помним что x<y тогда обозначим через К=(у-х)*(у-х)/(х*у)>0, и это строго больше нуля!!!
итог (х+у)*(1/х+1/у)=4+К>4что и требовалось доказать!
Задача 2
8*х-27*у=97
с другой стороны
х+у<40 домножим на 8
8x+8y<320
теперь выразим из первого уранения 8х
8х=97+27у подставляем в неравенство
97+27у+8у<320
y<320/35 так как число выстрелов число целое то
y<=6
теперь опять вернемся к 8х=97+27у
заметим что число 8 четное и на какое число не умножь произведение будет четное число, а с правой стороны 97-нечетное, а вот что бы сумма 97+27у- было четное надо чтобы у-было нечетное
тогда нам подходят варианты 5, 3 и 1
попробуем у=5
тогда х=(97+27*5)/8= 232/8=29
Итог
удачных выстрелов 29 а неудачных 5