1) Пусть в многоугольнике n сторон.

Сумма углов выпуклого n -угольника  равна

180°·(n-2)

Но и углов в многоугольнике тоже n,  поэтому сумма всех углов равна

150°·n

Приравниваем выражения и получаем уравнение:

180·(n-2) = 150·n

180·n - 360 = 150·n

180·n - 150·n = 360

30·n = 360

n= 12

ответ. 12 сторон.

2) Гипотенуза = корень (катет1 в квадрате + катет2 в квадрате) =

=корень(400+441)=29 =диаметру описанной окружности

радиус = 29/2 =14,5

3) так как правильный четырехугольник - это квадрат, то радиус будет равен половине диагонали квадрата, то есть  

a=16/4=4 (сторона квадрата)  

d^2=(a^2+a^2) (диагональ)  

d=корень из 32=4 умножить на корень из 2  

r=2 умножить на корень из 2

4) Диаметр окружности равен стороне квадрата, то есть 8 см, значит радиус окружности 4 см, 2/3 высоты вписанного правильного треугольника равны радиусу окружности

2/3h=4. значит h=6 cм ,  а h  в правильном треугольнике равна а√3/2, где а- сторона правильного треугольника значит

а=2h/√3=2*6/√3=4√3