1 | В окружности радиуса 1 проведена хорда длины 1. Найти площадь
частей круга, на которые данный круг разделен проведенной хордой.
2 | В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого
угла CD, острый угол B равен 30(градусов). Найти углы
треугольника DH1H2, где H1 и H2 - точки пересечения высот
треугольников ACD и BCD.
3 | На стороне AB треугольника ABC взята точка M так, что AM = 2MB, а на стороне AC точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?
частей круга, на которые данный круг разделен проведенной хордой.
2 | В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого
угла CD, острый угол B равен 30(градусов). Найти углы
треугольника DH1H2, где H1 и H2 - точки пересечения высот
треугольников ACD и BCD.
3 | На стороне AB треугольника ABC взята точка M так, что AM = 2MB, а на стороне AC точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?
Answers & Comments
Verified answer
1) См. рис. 1
S(круга)=πR²=π
Треугольник АОВ - равносторонний
AO=OB=R=1
AB=1
Центральный угол АОВ равен 60 °
S₁=S(сек. АОВ)=πR²·360°/60°=(1/6)πR²=(1/6)π
S₂=π-(1/6)π=(5/6)π
2) Cм. рис. Треугольник СDB - тупоугольный, ∠СDB=105°
Поэтому высоты из точек С и В пересекаются с продолжением сторон
Отмечаем углы и получаем ответ 30°;60° и 90°
3.
Применяем формулу
S(Δ)=(1/2)·a·b·sinα
S(Δ ABC)=(1/2)·AB·AC·sinα
S(ΔAMK)=(1/2)·AM·AK·sinα
По условию AM=(2/3)AB и S(Δ ABC)=2S(Δ AМК)
AB·AC=2·AM·AK
AB·AC=2·(2/3)AB·AK
AC=(4/3)AK
АК:АС=3:4
О т в е т. 3:4