Для решение данного интеграла используем формулу:

[tex]∫ {x}^{n}dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} \\ [/tex]

Для решения интеграла применим метод Ньютона-Лейбница:

[tex]a \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ∫f(x)dx = F(a) - F(b) \\ b \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

Где:

[tex]F(x) = ∫f(x)dx \\ [/tex]

Сейчас решим данный интеграл ,используя формулу и метод Ньютона-Лейбница:

1) Найдем первообразную функции:

[tex]F(x) = ∫ {x}^{4} dx = \frac{ {x}^{5} }{5} \\ [/tex]

2) Применим метод Ньютона-Лейбница:

[tex]F(0) = \frac{ {0}^{5} }{5} = 0[/tex]

[tex]F(1) = \frac{ {1}^{5} }{5} = \frac{1}{5} [/tex]

[tex] 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ∫ {x}^{4} dx = - 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \\ 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

Ответ: ⅕