Ответ:

1) [tex]y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)[/tex]

2) [tex]y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}[/tex]

Пошаговое объяснение:

1) Прологарифмируем обе части и возьмём от них производные:

[tex]\ln{y}=\ln{(\cos{2x})^{x^2+1}}\\\ln{y}=(x^2+1)\ln{\cos{2x}}\\(\ln{y})'=((x^2+1)\ln{\cos{2x}})'[/tex]

Поскольку в левой части аргумент логарифма сам является функцией, то ln y — сложная функция, находится как производная логарифма, умноженная на производную самой функции, то есть y'.

[tex]\dfrac{y'}{y}=2x\ln{\cos{2x}}-\dfrac{2(x^2+1)\sin{2x}}{\cos{2x}}\\y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)[/tex]

2) Функция задана неявно, найдём производные от обеих частей, считая x независимой переменной, а y — функцией от x.

[tex]arctg(x+y)'=(xy)'\\\dfrac{1+y'}{1+(x+y)^2}=y+xy'\\1+y'=(1+(x+y)^2)(y+xy')\\1+y'=y+y(x+y)^2+xy'+xy'(x+y)^2\\y'-xy'-xy'(x+y)^2=y+y(x+y)^2-1\\y'(1-x-x(x+y)^2)=y+y(x+y)^2-1\\y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}[/tex]