Ответ :

1) Для того, щоб знайти зростаючу функцію серед запропонованих, досить перевірити, яка з них має коефіцієнт при x, який більший за нуль:

А) y = 13f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 13 перед f(x)).

Б) -710y = -14f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт -14 перед f(x), але мінус перед усім виразом не впливає на зростання функції).

В) y = f(x) + 7 - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 1 перед f(x)).

Г) -y^3 = 2f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 2 перед f(x), а мінус перед y^3 не впливає на зростання функції).

Д) y = 4,2f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 4,2 перед f(x)).

Отже, всі варіанти А, Б, В, Г, і Д є зростаючими функціями.

2) Знайдемо проміжки зростання і спадання функції \(y = (x+1)^2 + 3\):

Для цього розкриємо квадрат виразу \((x+1)^2\):

\[y = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4\]

Тепер ми можемо визначити, коли ця функція зростає і коли спадає:

a) Функція \(x^2 + 2x + 4\) завжди більше або рівна 4, тому вона зростає на всьому проміжку \((-\infty; +\infty)\).

Отже, правильна відповідь: А) \(x \in (-\infty; -1] - спадає, x \in [-1; +\infty) - зростає\).

3) Функція \(y = 3x - 7\) має позитивний коефіцієнт перед x (3), тому вона зростає на проміжку \((-∞; +∞)\).

Отже, правильна відповідь: Г) \(y = 3x - 7\).

4) Знайдемо проміжки зростання функції \(y = -12(x-2)^2 + 1\):

a) \(x - 2\) підноситься до квадрата, тобто завжди більше або рівне нулю.

b) Від'ємна константа помножена на додатній член завжди дорівнює від'ємному значенню.

Отже, функція \(y = -12(x-2)^2 + 1\) зростає на проміжку \((-∞; -1)\) і \((1; +\infty)\).

Отже, правильна відповідь: Д) \(x \in (-∞; -12)\) і \(x \in (-5; +\infty)\).

5) Зростаюча функція може бути записана у вигляді \(y = k \cdot f(x)\), де \(k\) - позитивне число. Зараз нам дано наступні вирази:

А) \(-y = -13f(x)\) - Зростаюча.

Б) \(y = -3f(x)\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -3).

В) \(-y^4 = 7f(x)\) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 7 перед f(x)).

Г) \(y = -7/49f(x)\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -7/49).

Д) \(y = -f(x) - 5\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -1).

Отже, правильна відповідь: А) \(-y = -13f(x)\).

6) Знайдемо проміжки спадання і зростання функції \(y = 1x^2 + 9\):

a) Функція \(1x^2\) завжди більше або рівна нулю, тому зростає на всьому

проміжку \((-∞; +\infty)\).

b) Константа 9 не впливає на спадання або зростання.

Отже, функція \(y = 1x^2 + 9\) зростає на всьому проміжку \((-∞; +\infty)\).

Отже, правильна відповідь: Д) \(x \in (-∞; 2) - зростає, x \in (2; +\infty) - спадає\).

7) Функція \(y = \frac{x+1}{x+1}\) рівна 1 на всьому проміжку \(M = (0; +\infty)\), тому максимального та мінімального значення не існує.

Отже, правильна відповідь: А) max f(x) і min f(x) безліч.

8) Знайдемо максимальне та мінімальне значення функції \(y = x^2 - 25\):

a) Функція \(x^2 - 25\) рівна 0 при \(x = \pm 5\), тому максимального та мінімального значення не існує.

Отже, правильна відповідь: В) max f(x) і min f(x) безліч.

9) Функція \(y = x^2 - a\) зростає на проміжку \([5; +\infty)\) при умові \(a > 0\).

Отже, правильна відповідь: А) \(a > 0\).

10) Функція \(y = (x+7)(x-a)\) не буде монотонно зростаючою, якщо дискримінант квадратного трьохчлена менший або рівний нулю:

Дискримінант = \(b^2 - 4ac\), де \(a = 1\), \(b = 7\) і \(c = -a\).

Дискримінант менший або рівний нулю: \[7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) \leq 0\]

\[49 + 4a \leq 0\]

\[4a \leq -49\]

\[a \leq -\frac{49}{4}\]

Отже, правильна відповідь: Д) \(a \leq -\frac{49}{4}\).

11) Рівняння \(x^7 + x^5 + x = 1\) має один розв'язок, бо ліва частина рівняння - поліном сьомого ступеня, який перетинає ось y = 1 в точці (1, 1), тому воно має один спільний розв'язок.

Отже, правильна відповідь: В) 1.

12) Рівняння \(6 + 55x + 6 = x\) спрощується до рівняння \(61x + 12 = 0\). Розв'язок цього рівняння:

\[61x + 12 = 0\]

\[61x = -12\]

\[x = \frac{-12}{61}\]

Отже, правильна відповідь: В) Рівняння має два корені, що належать проміжку \(-2 < x < 11\).