Ответ:

Функция y = x^2 + 1

Функция является параболой с ветвями, направленными вверх. Так как коэффициент при x^2 положительный, то функция всюду выпукла вверх. Следовательно, она монотонно возрастает на всей числовой прямой. Точек экстремума у данной функции нет.

Функция y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5

Найдем производную данной функции:

y' = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2)

Найдем корни уравнения x^2 + x - 2 = 0:

x1 = -2, x2 = 1

Таким образом, функция имеет стационарные точки в точках x = -2 и x = 1. Для определения их типа (минимум или максимум) необходимо проанализировать знаки второй производной функции:

y'' = 12x + 6

y''(-2) = -18 < 0, следовательно, точка x = -2 является точкой максимума.

y''(1) = 18 > 0, следовательно, точка x = 1 является точкой минимума.

Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -2) и монотонно убывает на интервале (-2, 1), после чего снова монотонно возрастает на интервале (1, +∞).

Итак, промежутки монотонности и точки экстремума для данных функций:

y = x^2 + 1

Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Точек экстремума у данной функции нет.

y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5

Функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -2).

Функция монотонно убывает на интервале (-2, 1).

Функция монотонно возрастает на интервале (1, +∞).

Точка x = -2 является точкой максимума.

Точка x = 1 является точкой минимума.