Verified answer

Ответ:

  [tex]\boldsymbol{sin\alpha =\dfrac{3}{5}\ \ ,\ \ cos\beta =-\dfrac{4}{5}\ \ ,\ \ 0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}\ \ ,\ \ \dfrac{\pi }{2} < \beta < \pi }[/tex]  

Найдём  [tex]\boldsymbol{cos\alpha \ ,\ sin\beta }[/tex]  , применяя основное тригон-ое тождество.

[tex]\bf sin^2\alpha +cos^2\alpha=1\ \ \Rightarrow \ \ \ cos^2\alpha =1-sin^2\alpha =1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\ \ ,\\\\cosa=\pm \dfrac{4}{5}\\\\\boldsymbol{0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}\ \ \Rightarrow \ \ cos\alpha > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ cos\alpha =\dfrac{4}{5}}[/tex]

[tex]\bf sin^2\beta +cos^2\beta =1\ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2\beta =1-cos^2\beta =1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}\ \ ,\\\\sin\beta =\pm \dfrac{3}{5}\\\\\boldsymbol{\dfrac{\pi }{2} < \beta < \pi \ \ \Rightarrow \ \ sin\beta > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ sin\beta =\dfrac{3}{5}}[/tex]  

a)  Теперь применим формулу синуса суммы углов.

[tex]\bf sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta \\\\\\sin(\alpha +\beta )=-\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{5} =0[/tex]    

б)  Применим формулу косинуса двойного угла.

[tex]\bf cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha =\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}[/tex]  

P.S.  Можно проверить этот результат с помощью другой формулы:

[tex]\bf cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha =(1-sin^2\alpha )-sin^2\alpha =1-2\, sin^2\alpha =1-\dfrac{2\cdot 9}{25}=\dfrac{7}{25}[/tex]