100 баллов : Рівнобічну трапецію з основами 1 см і 25 см обертають навколо прямої, що містить її більшу основу. Знайдіть об’єм отриманого тіла, якщо відомо, що в дану трапецію можна вписати коло.
Равнобедренную трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей его большее основание. Найдите объем полученного тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция,
вращается вокруг AD.
ВС = 1 см; AD = 25 см.
В трапецию можно вписать окружность.
Найти: объем тела вращения.
Решение:
При вращении получим два конуса с образующими АВ и CD и цилиндра с образующей ВС.
Трапеция равнобедренная, поэтому конусы будут равные.
1. Найдем объем цилиндра.
Объем цилиндра равен:
[tex]\displaystyle \boxed {V=\pi r^2h}[/tex], где r - радиус основания, h - высота (образующая)
h = BC = 1 см.
r = МВ - высота трапеции ABCD
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.
⇒ АМ = (AD - BC) : 2 = (25 - 1) : 2 = 12 (см)
Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин ее противоположных сторон равны.
АВ + CD = BC + AD = (1 + 25) = 26 (см)
⇒ АВ = CD = 26 : 2 = 13 (см)
Рассмотрим ΔАВМ - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем ВМ:
ВМ² = АВ² - АМ² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25
ВМ = √25 = 5 (см)
Vц = π · ВМ² · ВС = π · 25 · 1 = 25π (см³)
2. Найдем объем конуса.
Объем конуса равен:
[tex]\displaystyle \boxed {V=\frac{1}{3} \pi r^2h}[/tex] , где r - радиус основания, h - высота.
Answers & Comments
Ответ:
Объем полученного тела равен 225π см³.
Объяснение:
Равнобедренную трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей его большее основание. Найдите объем полученного тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция,
вращается вокруг AD.
ВС = 1 см; AD = 25 см.
В трапецию можно вписать окружность.
Найти: объем тела вращения.
Решение:
При вращении получим два конуса с образующими АВ и CD и цилиндра с образующей ВС.
Трапеция равнобедренная, поэтому конусы будут равные.
1. Найдем объем цилиндра.
Объем цилиндра равен:
[tex]\displaystyle \boxed {V=\pi r^2h}[/tex], где r - радиус основания, h - высота (образующая)
h = BC = 1 см.
r = МВ - высота трапеции ABCD
⇒ АМ = (AD - BC) : 2 = (25 - 1) : 2 = 12 (см)
АВ + CD = BC + AD = (1 + 25) = 26 (см)
⇒ АВ = CD = 26 : 2 = 13 (см)
Рассмотрим ΔАВМ - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем ВМ:
ВМ² = АВ² - АМ² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25
ВМ = √25 = 5 (см)
Vц = π · ВМ² · ВС = π · 25 · 1 = 25π (см³)
2. Найдем объем конуса.
Объем конуса равен:
[tex]\displaystyle \boxed {V=\frac{1}{3} \pi r^2h}[/tex] , где r - радиус основания, h - высота.
r = BM = 5см
h = AM = 12 см
[tex]\displaystyle V_k=\frac{1}{3}\pi \cdot5^2\cdot12=100\pi \;_{(CM^3)}[/tex]
3. Объем тела вращения будет равен:
V = Vц + 2Vк
V = 25π + 100π · 2 = 225π (см³)
Объем полученного тела равен 225π см³.