Разложим на простые множители число 45=3²*5;

Требование деления на 45 предусматривает деление нацело числа  123*** и на 5, и на 3². Вспомним признаки  делимости   на 5 и на 3²=9

На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 5 или на 0.

на  3²=9 длятся те и только те,  сумма цифр которых делится на  9;

Если число оканчивается на 5, надо к сумме 1+2+3+5 =11, подобрать две цифры, чтобы сложив 11 с суммой двух этих цифр число было кратно девяти. на 9 делятся 9; 18; 27; 36; до 18 не хватает 18-11= 7, поэтому на месте двух цифр могут быть 07; 16;25;34;43;52;61;70;

и соответственно варианты чисел: 123075; 123165; 123255; 123345; 123435; 123525;  123615; 123705; чтоб набрать 27, не хватает 27-11=16,

это может быть сумма следующих двух цифр;79;88;97. и еще добавится три числа 123795;  123885; 123975;

чтобы сумма была 36, не хватает 36-11=25, но из цифр эту сумму уже не получить. переходим к нулю.

123**0, здесь сумма 1+2+3=6, значит, оставшаяся сумма может быть 3; это цифры 03; 12;21; 30 и четыре  числа 123030, 123120, 123210, 123300,

или  18-6=12, сумма двух цифр равна 12, если это следующие пары

39; 48;57;66;75;84;93, таких наборов и соответственно 7 чисел: это

123390; 123480; 123570; 123660; 123750; 123840; 123930;

до 27 не хватает 27-6=21, но максимум, что можно набрать, это 9+9, а эта сумма меньше 21.

Итак, всего получилось 22 числа.