Ответ:

Длина отрезка АВ = 6√2 ед.

Объяснение:

Две сферы радиусов r=3 и R=6 касаются внешним образом друг друга и плоскости. Точка К - точка касания сфер друг с другом. Точки А и В - точки касания этих сфер с плоскостью β. Надо найти длину отрезка АВ.

Точки А и В принадлежат плоскости β, следовательно отрезок АВ ∈ β.  АВ - общая касательная к сферам с центром в точке О и радиусом r=ОА=ОК=3 и с центром в точке О₁ и радиусом R=О₁В=О₁К=6.

Так как АВ - касательная, то r и R перпендикулярны АВ в  точках касания: ОА⊥АВ, О₁В⊥АВ ⇒ ОА ║ О₁В. Проведём ОЕ ║ АВ.

ОАВЕ - параллелограмм (по определению). ЕВ=ОА=3 ед, АВ=ОЕ - по свойству параллелограмма.

Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Следовательно ОАВЕ - прямоугольник. ОЕ⊥ЕВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО₁Е(∠Е=90°).

Гипотенуза ОО₁ = r+R = ОК+О₁К = 3+6 = 9 ед.

О₁Е = О₁В-ЕВ = 6-3 = 3 ед

По теореме Пифагора найдём катет ОЕ.

ОЕ²= ОО₁²-О₁Е = 9²-3² = 81-9 = 72

ОЕ = √72 = 6√2 ед

Значит отрезок АВ = ОЕ = 6√2 ед

#SPJ1