Відповідь:

1) Об'єм вписаної кулі: V = (a^3 * √2) / (12√3)

2) Площа поверхні вписаної кулі: Sк = πa^2/3

Покрокове пояснення:

Об'єм тіла обертання можна знайти за формулою:

V = (π/3) * h * (r^2 + R^2 + rR),

де h - висота тіла обертання, r і R - радіуси кола, яке обертається та кола, що утворюється при обертанні сторони трикутника навколо середньої за довжиною сторони.

Знайдемо спочатку радіуси цих кол:

r = 14/2 = 7 см (половина довжини меншої сторони трикутника)

R = (13^2 + 49)/ (2*13) ≈ 7,15 см (за теоремою косинусів)

Далі знайдемо висоту тіла обертання. Позначимо за x половину довжини середньої сторони трикутника:

x = (13 + 14 - 15)/2 = 6 см

Тоді, за теоремою Піфагора, висота тіла обертання:

h = √(13^2 - x^2) ≈ 11,62 см

Підставляємо знайдені значення до формули для об'єму:

V = (π/3) * 11,62 * (7^2 + 7,15^2 + 7*7,15) ≈ 847,16 см^3

Площу поверхні тіла обертання можна знайти, склавши площі бічної поверхні тіла обертання та двох кіл, які утворюються при обертанні сторони трикутника.

Площа бічної поверхні тіла обертання:

Sб = 2πrh ≈ 512,19 см^2

Площа двох кіл:

Sк = 2πr^2 + 2πR^2 ≈ 615,75 см^2

Отже, площа поверхні тіла обертання:

S = Sб + Sк ≈ 1127,94 см^2

Позначимо за a сторону основи піраміди і за R радіус вписаної кулі.

Об'єм піраміди можна знайти за формулою:

V = (1/3) * Sосн * h,

де Sосн - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Площу основи піраміди можна знайти за формулою:

Sосн = (a^2 * √3) / 4

Висоту піраміди можна знайти за формулою:

h = a * √(2/3)

Тоді об'єм піраміди буде:

V = (1/3) * (a^2 * √3 / 4) * (a * √(2/3)) = (a^3 * √2) / (12√3)

Радіус вписаної кулі можна знайти за формулою:

R = (a * √3) / 6

Площа поверхні кулі можна знайти за формулою:

Sк = 4πR^2 = 4π(a^2/36) * 3 = πa^2/3

Отже, відповіді:

Об'єм вписаної кулі: V = (a^3 * √2) / (12√3)

Площа поверхні вписаної кулі: Sк = πa^2/3