Verified answer

Решение.

1. Вычислим длину дуги кривой, заданной в параметрическом виде . Задана, кстати, окружность радиуса R=4 .

[tex]\bf \left\{\begin{array}{l}x=4\, cost\\y=4sint\end{array}\right\ \ \ ,\ \ \ t\in [\, 0\, ;\, 2\pi \, ]\\\\\\x'=-4sint\ ,\ \ y'=4\, cost\\\\(x')^2+(y')^2=16sin^2t+16\, cos^2t=16\, (sin^2t+cos^2t)=16\cdot 1=16\\\\\\\displaystyle L=\int\limits_{0}^{2\pi }\, \sqrt{(x')^2+(y')^2}\, dx=\int\limits_{0}^{2\pi }\, \sqrt{16}\, dx=4\int\limits_{0}^{2\pi }\, dx=4\cdot x\, \Big|_0^{2\pi }=\\\\\\=4\cdot (2\pi -0)=4\cdot 2\pi =8\pi[/tex]

Проверим правильность вычислений по формуле длины окружности с R=4 :   [tex]\bf L=2\pi R=2\pi \cdot 4=8\pi[/tex]  . Ответы сошлись .

[tex]2.\ \ x=y^2\ ,\ x=1[/tex]  

Точки пересечения:  [tex]\bf x=y^2\ ,\ \ x=1\ \Rightarrow \ \ 1=y^2\ ,\ y^2-1=0\ ,\ (y-1)(y+1)=0\ ,\ y_1=-1\ ,\ y_2=1[/tex]  

[tex]\displaystyle \bf V=\pi\int\limits^a_b\, \varphi ^2(y)\, dy[/tex]

Объём тела вращения около оси ОУ находим как разность двух объёмов. Область изображена на рисунке .

[tex]\displaystyle \bf V=\pi\int\limits^1_{-1}\, 1^2\, dy-\pi \int\limits^1_{-1}\, (y^2)^2\, dy=\pi \cdot y\Big|_{-1}^1-\pi \cdot \frac{y^5}{5}\, \Big|_{-1}^1=\pi \cdot (1-(-1))-\\\\\\-\frac{\pi}{5}\cdot (1-(-1))=2\pi -\frac{2\pi }{5}=\frac{8\pi }{5}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf 3.\ \ \int\limits_0^{+\infty }\, \frac{dx}{4+x^2}\, dx=\lim\limits_{b \to +\infty}\, \int\limits^{b}_{0}\frac{dx}{2^2+x^2}=\lim\limits_{b \to +\infty}\, \Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{x}{2}\Big)\Big|_0^{b}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \lim\limits_{b \to +\infty}\Big (arctg\frac{b}{2}-arctg0\Big)=\frac{1}{2}\cdot (\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi }{4}[/tex]

Несобственный интеграл сходится .