Ответ:

1. 64;

2. 0,1; 1000;

3.  [tex]\bf -5\frac{15}{16}[/tex]

4. 13

Пошаговое объяснение:

Вычислить:

1.   [tex]\displaystyle \bf log_{\frac{1}{4} }x=-3[/tex]

• Число под знаком логарифма положительно.

ОДЗ: х > 0

По определению логарифма:

[tex]\displaystyle \bf x=\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} \\\\x=4^3\\\\x=64[/tex]

Ответ: 64

2.   [tex]\displaystyle \bf lg^2x-lgx^2-3=0[/tex]

ОДЗ: х > 0

Свойство логарифма:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf log_ab^n=nlog_ab}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf lg^2x-2\;lgx-3=0[/tex]

Замена переменной:

lgx = t

[tex]\displaystyle \bf t^2-2t-3=0[/tex]

По теореме Виета:

[tex]\displaystyle \bf t_1=3;\;\;\;\;\;t_2=-1[/tex]

Обратная замена:

[tex]\displaystyle \bf lgx=3\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=10^3;\;\;\;x=1000\\\\lgx=-1\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x=10^{-1};\;\;\;x=0,1[/tex]

Ответ: 0,1; 1000.

3.   [tex]\displaystyle \bf log_4(x+6)=-2[/tex]

ОДЗ: х + 6 > 0   ⇒   х > -6

[tex]\displaystyle \bf x+6=4^{-2}\\\\x=\frac{1}{16}-6\\ \\x=-5\frac{15}{16}[/tex]

Ответ: [tex]\bf -5\frac{15}{16}[/tex]

4.   [tex]\displaystyle \bf lg(2x-1)+lg(x-9)=2[/tex]

ОДЗ:

[tex]\displaystyle \bf \left \{ {{2x-1 > 0} \atop {x-9 > 0}} \right. \;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{x > 0,5} \atop {x > 9}} \right.\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x > 9[/tex]

Свойство логарифма:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf log_ab+log_ac=log_ab\cdot c}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf lg(2x-1)(x-9)=2\\\\lg(2x^2-18x-x+9)=2\\\\2x^2-19x+9=10^2\\\\2x^2-19x-91=0\\\\D=361+728=1089;\;\;\;\sqrt{D}=33\\ \\x_1=\frac{19+33}{4}=13;\;\;\;\;\;x_2= \frac{19-33}{4}=-\frac{14}{4}[/tex]

x₂ не подходит по ОДЗ.

⇒ Ответ: 13.