Спочатку знайдемо проекцію точки А, яка є вершиною трикутника АВС, на площину АВС. Зробимо це за допомогою перпендикуляра, який опускається з точки А на площину АВС. Оскільки трикутник АВС рівносторонній, то цей перпендикуляр буде опускатися з вершини А під кутом 60° до сторони АВ. Отже, відстань від точки А до площини АВС дорівнює:
h = AB * sin 60° = 8 * √3 / 2 = 4√3 см.
Отже, площина, яку утворює проекція трикутника АВС на площину АВС, знаходиться на відстані h від площини АВС.
Тепер розглянемо дві площини: площину АВС та площину, яка утворюється проекцією трикутника АВС на площину АВС. Кут між цими площинами дорівнює 30°, що означає, що відстань між ними дорівнює:
d = h / cos 30° = 4√3 / √3 = 4 см.
Отже, площа проекції трикутника АВС на площину АВС дорівнює:
S = (1/2) * AB * d = (1/2) * 8 * 4 = 16 см².
Отже, правильна відповідь - В. 24 см².
6. - прости
7 завдання
1) Оскільки площина В паралельна прямій b, то вони мають однакові нормальні вектори. Так як пряма d проходить через точку D і центр правильного трикутника АВС, то вона перетинає площину В по прямій, яка проходить через середину сторони ВС трикутника АВС та точку D. Отже, щоб знайти відстань від прямої до площини В, необхідно знайти відстань між цими двома точками.
Середина сторони ВС дорівнює AB/2 = 6.8/2 = 3.4 см. Розглянемо трикутник АДС, в якому точка D лежить на відстані 210 см від площини АВС, а відрізок DS - відрізок, що з'єднує точки D та середину сторони ВС. Тоді ми можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину відрізка DS:
DS² = AD² - AS²,
де AS - висота трикутника АВС, опущена на сторону АВ. Трикутник АВС є рівностороннім, тому AS дорівнює h = AB * √3 / 2 = 6.8 * √3 / 2 см. Тоді маємо:
DS² = (210 см)² - (3.4 см)² = 43 964 см²,
звідки:
DS = √43 964 см ≈ 209.6 см.
Отже, відстань від прямої до площини В дорівнює:
d = DS = 209.6 см.
2) За умовою задачі ми знаємо, що точка D знаходиться на відстані 210 см від площини трикутника АВС, тобто вона перебуває на сфері з центром у центрі правильного трикутника та радіусом 210 см.
Також за умовою пряма, що проходить через центр трикутника та точку D, є перпендикуляром до площини трикутника, тому що вона містить лінію, що з'єднує центр трикутника та точку на площині. Оскільки трикутник АВС є правильним, то центр трикутника є точкою перетину бісектрис, медіан та висот, тобто є точкою перетину всіх осей симетрії трикутника. Тому пряма, що проходить через центр трикутника та точку D, є основною діагоналлю описаного навколо трикутника АВС куба.
Оскільки трикутник АВС є правильним, то його центр співпадає з центром описаного навколо нього кола, тобто центром описаного навколо трикутника АВС кола. Тому радіус кола дорівнює R = AB/2 = 6.8/2 = 3.4 см.
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ОДС з гіпотенузою OD маємо:
SD² = OD² - OS²,
де SD - відстань від точки D до сторони АВС, OD - відстань від точки D до центра трикутника, а OS - відстань від центра трикутника до сторони АВС.
Оскільки трикутник АВС є правильним, то OS = 3.4 см. Відстань OD дорівнює радіусу сфери, на якій знаходиться точка D, тобто OD = 210 см.
За теоремою Піфагора маємо:
SD² = OD² - OS² = 210² - 3.4² = 44096.24,
SD = √44096.24 ≈ 209.9 см.
Отже, відстань від точки D до сторін трикут 209.9 см
Answers & Comments
5 завдання
Спочатку знайдемо проекцію точки А, яка є вершиною трикутника АВС, на площину АВС. Зробимо це за допомогою перпендикуляра, який опускається з точки А на площину АВС. Оскільки трикутник АВС рівносторонній, то цей перпендикуляр буде опускатися з вершини А під кутом 60° до сторони АВ. Отже, відстань від точки А до площини АВС дорівнює:
h = AB * sin 60° = 8 * √3 / 2 = 4√3 см.
Отже, площина, яку утворює проекція трикутника АВС на площину АВС, знаходиться на відстані h від площини АВС.
Тепер розглянемо дві площини: площину АВС та площину, яка утворюється проекцією трикутника АВС на площину АВС. Кут між цими площинами дорівнює 30°, що означає, що відстань між ними дорівнює:
d = h / cos 30° = 4√3 / √3 = 4 см.
Отже, площа проекції трикутника АВС на площину АВС дорівнює:
S = (1/2) * AB * d = (1/2) * 8 * 4 = 16 см².
Отже, правильна відповідь - В. 24 см².
6. - прости
7 завдання
1) Оскільки площина В паралельна прямій b, то вони мають однакові нормальні вектори. Так як пряма d проходить через точку D і центр правильного трикутника АВС, то вона перетинає площину В по прямій, яка проходить через середину сторони ВС трикутника АВС та точку D. Отже, щоб знайти відстань від прямої до площини В, необхідно знайти відстань між цими двома точками.
Середина сторони ВС дорівнює AB/2 = 6.8/2 = 3.4 см. Розглянемо трикутник АДС, в якому точка D лежить на відстані 210 см від площини АВС, а відрізок DS - відрізок, що з'єднує точки D та середину сторони ВС. Тоді ми можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину відрізка DS:
DS² = AD² - AS²,
де AS - висота трикутника АВС, опущена на сторону АВ. Трикутник АВС є рівностороннім, тому AS дорівнює h = AB * √3 / 2 = 6.8 * √3 / 2 см. Тоді маємо:
DS² = (210 см)² - (3.4 см)² = 43 964 см²,
звідки:
DS = √43 964 см ≈ 209.6 см.
Отже, відстань від прямої до площини В дорівнює:
d = DS = 209.6 см.
2) За умовою задачі ми знаємо, що точка D знаходиться на відстані 210 см від площини трикутника АВС, тобто вона перебуває на сфері з центром у центрі правильного трикутника та радіусом 210 см.
Також за умовою пряма, що проходить через центр трикутника та точку D, є перпендикуляром до площини трикутника, тому що вона містить лінію, що з'єднує центр трикутника та точку на площині. Оскільки трикутник АВС є правильним, то центр трикутника є точкою перетину бісектрис, медіан та висот, тобто є точкою перетину всіх осей симетрії трикутника. Тому пряма, що проходить через центр трикутника та точку D, є основною діагоналлю описаного навколо трикутника АВС куба.
Оскільки трикутник АВС є правильним, то його центр співпадає з центром описаного навколо нього кола, тобто центром описаного навколо трикутника АВС кола. Тому радіус кола дорівнює R = AB/2 = 6.8/2 = 3.4 см.
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ОДС з гіпотенузою OD маємо:
SD² = OD² - OS²,
де SD - відстань від точки D до сторони АВС, OD - відстань від точки D до центра трикутника, а OS - відстань від центра трикутника до сторони АВС.
Оскільки трикутник АВС є правильним, то OS = 3.4 см. Відстань OD дорівнює радіусу сфери, на якій знаходиться точка D, тобто OD = 210 см.
За теоремою Піфагора маємо:
SD² = OD² - OS² = 210² - 3.4² = 44096.24,
SD = √44096.24 ≈ 209.9 см.
Отже, відстань від точки D до сторін трикут 209.9 см
8 завдання
За теоремою косинусів для трикутника ABD:
BD^2=AD^2-AB^2=3,29^2-6^2=3,21
Таким чином, BD=\sqrt{3,21}=1,79
За теоремою косинусів для трикутника ACD:
CD^2=AD^2-AC^2=3,29^2-10^2= 8,1241
Таким чином, $CD=\sqrt{8,1241}=2,85
Отже, довжина відрізка CD дорівнює 2,85 см.