Ответ:

Для доказательства, что (с - ⃗а)∙ = 0, используем свойство скалярного произведения, которое гласит: если (⃗а)∙ = 0 и (⃗b)∙ = 0, то (⃗а + ⃗b)∙ = 0.

У нас дано: ( - )∙ = 0 и ( - )∙ = 0.

Мы хотим доказать, что (с - ⃗а)∙ = 0.

Разложим вектор (с - ⃗а) на два вектора: (с - ⃗а) = (с - ) + ( - ⃗а).

Теперь рассмотрим скалярное произведение:

(с - ⃗а)∙ = ((с - ) + ( - ⃗а))∙

Используя свойство распределительности скалярного произведения относительно сложения векторов, получим:

(с - ⃗а)∙ = (с - )∙ + ( - ⃗а)∙

У нас уже известно, что ( - )∙ = 0 и ( - )∙ = 0, поэтому можем заменить соответствующие части выражения:

(с - ⃗а)∙ = 0 + 0 = 0.

Таким образом, мы доказали, что (с - ⃗а)∙ = 0.

Теперь найдем угол между вектором ⃗а(4; -3; 5) и осью ОY. Ось ОY имеет координаты (0; 1; 0).

Угол между двумя векторами определяется следующим образом:

cosθ = (⃗а∙⃗б) / (|⃗а|⋅|⃗б|),

где ⃗а∙⃗б - скалярное произведение векторов ⃗а и ⃗б, |⃗а| и |⃗б| - длины векторов ⃗а и ⃗б соответственно.

Длина вектора ⃗а: |⃗а| = √(4^2 + (-3)^2 + 5^2) = √(16 + 9 + 25) = √50 = 5√2.

Скалярное произведение векторов ⃗а и ОY: ⃗а∙ОY = 0 + (-3)⋅1 + 0⋅5 = -3.

Длина вектора ОY: |ОY| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1.

Теперь можем вычислить cosθ:

cosθ = (⃗а∙ОY) / (|⃗а|⋅