Площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:
y = (x + 2)², y = 0, y = 4 - x, равна [tex]\displaystyle 10\frac{2}{3}[/tex] (ед²)
Пошаговое объяснение:
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:
y = (x + 2)², y = 0, y = 4 - x.
Определим искомую площадь.
1. у = (х + 2)²
- квадратичная функция, график - парабола.
Данный график получается из графика у = х² путем смещения на 2 единицы влево.
⇒ Координаты вершины (-2; 0)
2. у = 0
График - ось Ох.
3. у = 4 - х
- линейная функция, график прямая.
Найдем точку пересечения с осью Ох:
0 = 4 - х ⇒ х = 4
4. Теперь найдем точку пересечения графиков
у = (х + 2)² и у = 4 - х
х² + 4х + 4 = 4 - х
х (х + 5) = 0
х = 0; х = -5.
Получили искомую площадь (см. рис.). Она состоит из двух площадей, одна из которых ограничена сверху параболой у = (х + 2)², вторая - прямой у = 4 - х.
Answers & Comments
Ответ:
Площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:
y = (x + 2)², y = 0, y = 4 - x, равна [tex]\displaystyle 10\frac{2}{3}[/tex] (ед²)
Пошаговое объяснение:
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:
y = (x + 2)², y = 0, y = 4 - x.
Определим искомую площадь.
1. у = (х + 2)²
- квадратичная функция, график - парабола.
Данный график получается из графика у = х² путем смещения на 2 единицы влево.
⇒ Координаты вершины (-2; 0)
2. у = 0
График - ось Ох.
3. у = 4 - х
- линейная функция, график прямая.
Найдем точку пересечения с осью Ох:
0 = 4 - х ⇒ х = 4
4. Теперь найдем точку пересечения графиков
у = (х + 2)² и у = 4 - х
х² + 4х + 4 = 4 - х
х (х + 5) = 0
х = 0; х = -5.
Получили искомую площадь (см. рис.). Она состоит из двух площадей, одна из которых ограничена сверху параболой у = (х + 2)², вторая - прямой у = 4 - х.
Площадь найдем по формуле:
[tex]\displaystyle \boxed { S=\int\limits^b_a {(y_2(x)-y_1(x))} \, dx }[/tex]
Так же нам понадобится формула Ньютона - Лейбница:
[tex]\displaystyle \boxed {\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(x)\bigg|^b_a=F(b)-F(a)}[/tex]
Найдем площадь:
[tex]\displaystyle S = S_1+S_2=\int\limits^{0}_{-2} {(x^2+4x+4-0)} \, dx +\int\limits^4_0 {(4-x-0)} \, dx =\\\\=\left(\frac{x^3}{3}+4\cdot\frac{x^2}{2}+4x\right)\bigg|^0_{-2}+\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|^4_0= \\\\=0-\left(-\frac{8}{3}+8-8)+(16-8)-0=\\ \\=\frac{8}{3}+8=10\frac{2}{3}[/tex]
Площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:
y = (x + 2)², y = 0, y = 4 - x, равна [tex]\displaystyle 10\frac{2}{3}[/tex] (ед²)