Ответ: кратчайшее расстояние от данной окружности до прямой равно 3,6.
Объяснение:
Общий вид уравнения окружности:
[tex](x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2[/tex], где а и b — координаты центра.
Нам дана окружность x² + y² = 36.
Судя по уравнению, ее центр имеет координаты (0; 0), а радиус равен √36 = 6.
Общий вид уравнения прямой:
[tex]y = kx+b[/tex], где k — угловой коэффициент, равный тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ, а b — свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью ОУ.
Нам дана прямая [tex]\displaystyle y = \frac{4}{3}x + 16.[/tex]
Судя по уравнению, тангенс угла между ней и положительным направлением ОХ равен [tex]\displaystyle \frac{4}{3}[/tex] и прямая пересекает ОУ в точке (0; 16).
Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, проведенный из этой точки на прямую.
Поэтому, если мы из центра окружности опустим перпендикуляр на прямую, то кратчайшим расстоянием от окружности до прямой будет отрезок, соединяющий конец радиуса и основание перпендикуляра (на рисунке это отрезок МК).
______________________________
Дано:
∠BOC = 90° (потому что координатные оси перпендикулярны);
BO = 16;
tg∠BCD = [tex]\displaystyle -\frac{4}{3}[/tex];
ОК ⊥ ВС;
ОМ = 6.
Найти:
МК.
Решение:
∠BCD и ∠BCO — смежные, а значения тангенсов смежных углов противоположны.
Поэтому tg∠BCO = [tex]\displaystyle \frac{4}{3}[/tex].
Поскольку тангенс угла равен отношению противолежащего ему катета к прилежащему, можем записать такую пропорцию:
Answers & Comments
Ответ: кратчайшее расстояние от данной окружности до прямой равно 3,6.
Объяснение:
Общий вид уравнения окружности:
[tex](x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2[/tex], где а и b — координаты центра.
Нам дана окружность x² + y² = 36.
Судя по уравнению, ее центр имеет координаты (0; 0), а радиус равен √36 = 6.
Общий вид уравнения прямой:
[tex]y = kx+b[/tex], где k — угловой коэффициент, равный тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ, а b — свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью ОУ.
Нам дана прямая [tex]\displaystyle y = \frac{4}{3}x + 16.[/tex]
Судя по уравнению, тангенс угла между ней и положительным направлением ОХ равен [tex]\displaystyle \frac{4}{3}[/tex] и прямая пересекает ОУ в точке (0; 16).
Расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, проведенный из этой точки на прямую.
Поэтому, если мы из центра окружности опустим перпендикуляр на прямую, то кратчайшим расстоянием от окружности до прямой будет отрезок, соединяющий конец радиуса и основание перпендикуляра (на рисунке это отрезок МК).
______________________________
Дано:
∠BOC = 90° (потому что координатные оси перпендикулярны);
BO = 16;
tg∠BCD = [tex]\displaystyle -\frac{4}{3}[/tex];
ОК ⊥ ВС;
ОМ = 6.
Найти:
МК.
Решение:
∠BCD и ∠BCO — смежные, а значения тангенсов смежных углов противоположны.
Поэтому tg∠BCO = [tex]\displaystyle \frac{4}{3}[/tex].
Поскольку тангенс угла равен отношению противолежащего ему катета к прилежащему, можем записать такую пропорцию:
[tex]\displaystyle \frac{OB}{OC}= \frac{4}{3}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{16}{OC}= \frac{4}{3}[/tex]
Выразим ОС:
[tex]\displaystyle OC = \frac{16\cdot 3}{4} = 4\cdot 3 = 12[/tex].
По теореме Пифагора:
BC² = BO² + OC² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
BC = √400 = 20.
ОК — высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.
По метрическим соотношениям:
[tex]\displaystyle OK = \frac{BO \cdot OC}{BC} = \frac{16 \cdot 12}{20}= 9,6[/tex].
Вычтем отсюда радиус окружности:
МК = ОК - ОМ = 9,6 - 6 = 3,6.