Ответ:

[tex]a= 2\pi n ~~ , ~~ n \in \mathbb{Z}[/tex]

Объяснение:

[tex]\dfrac{4}{\cos a} \left ( \cos^6 \frac{a}{2} - \sin ^6 \frac{a}{2} \right) = 4- \sin ^2a[/tex]

Сначала упростим левую часть

Воспользуемся формулой

[tex]\boldsymbol{\sf a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3 )}[/tex]

[tex]\dfrac{4}{\cos a} (\cos ^3 \tfrac{a}{2} -\sin^3 \frac{a}{2} ) (\cos ^3 \tfrac{a}{2} -\sin^3 \frac{a}{2} ) \\\\\\ \dfrac{4}{\cos a} (\cos \frac{a}{2} - \sin \frac{a}{2} )( \cos ^2\frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}\cdot \sin \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}) \cdot \\\\\\ \cdot (\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} )( \cos ^2\frac{a}{2} - \cos \frac{a}{2}\cdot \sin \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2})[/tex]

Вспомним что

[tex]\boldsymbol{\sf \cos 2a = \cos^2a - \sin^2a = (\cos a - \sin a)(\cos a+ \sin a)}[/tex]

[tex]\boldsymbol{\sf \sin 2a = 2\sin a\cos a \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \underbrace{2\cdot \cos \tfrac{a}{2}\cdot \sin \tfrac{a}{2}}_{\sin a} = \dfrac{\sin a }{2} }[/tex]

Тогда

[tex]\dfrac{4}{\cos a} \cdot \underbrace{(\cos \tfrac{a}{2} + \sin \tfrac{a}{2} )(\cos \tfrac{a}{2} - \sin \tfrac{a}{2} )} _ {\cos^2a} \cdot \\\\\\ \cdot ( \underbrace{\cos ^2\tfrac{a}{2} + \sin^2 \tfrac{a}{2}}_{1} + \underbrace{\cos \tfrac{a}{2}\cdot \sin \tfrac{a}{2}}_{ \tfrac{\sin a }{2} } ) \cdot ( \underbrace{\cos ^2\tfrac{a}{2} +\sin^2 \tfrac{a}{2}}_{1} - \underbrace{\cos \tfrac{a}{2}\cdot \sin \tfrac{a}{2}}_{ \tfrac{\sin a }{2} } } ) =[/tex]

[tex]\dfrac{4}{\Big \slash \!\!\!\!\!\!\!\cos a} \cdot \cos ^{ \not 2 }a \left (1 -\dfrac{\sin a}{2} \right) \left (1 +\dfrac{\sin a}{2} \right) = \\\\\\ = 4\cos a\left (1 - \dfrac{\sin ^2a}{4} \right) = \boxed{\cos a (4 - \sin ^2a )}[/tex]

Теперь подставим в место левой части


[tex]\cos a (4 - \sin ^2a ) = (4 -\sin ^2 a ) \\\\ \cos a = 1 \\\\ a= 2\pi n ~~ , ~~ n \in \mathbb{Z}[/tex]