Решение.

[tex]4.\ \ \vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}\ ,\ \ \vec{b}=4\vec{i}-\vec{j}[/tex]

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов .

[tex]\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 4-3\cdot (-1)+1\cdot 0=8+3=11[/tex]  

5.  Если ребро куба = 2 , то диагональ любой грани куба по теореме Пифагора равна  √(4+4)=√8=2√2 .

Вектор АВ₁ - это диагональ грани куба,   [tex]|\overline{AB_1}|=2\sqrt2[/tex]  .

Вектор DC = вектору АВ, поэтому скалярное произведение векторов АВ₁  и  DC  равно скал. произведению векторов  АВ₁  и  АВ .

АВ - ребро куба ,   [tex]|\overline{AB}|=2[/tex]   .

Угол между АВ и АВ₁ равен 45°, как угол между ребром куба и диагональю грани .

[tex]\overline{AB_1}\, \cdot \, \overline{DC}=\overline{AB_1}\, \cdot \, \overline{AB}=|\overline{AB_1}|\cdot |\overline{AB}|\cdot cos45^\circ =2\sqrt2\cdot 2\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}=4[/tex]

Скалярное произведение заданных векторов равно 4 .

[tex]6.\ \ A(1,1,1)\ ,\ C(8;5;5)\ ,\ B(4;7;5)\ ,\ D(5;-1;5)[/tex]

Угол между прямыми АВ и СD можно вычислить как угол между векторами АВ и CD по формуле  

[tex]cos\alpha =\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|}[/tex]  

[tex]\overline{AB}(3;6;4)\ ,\ \ \overline{CD}(-3;-6;0)\\\\\overline{AB}\cdot \overline{CD}=-9-36+0=-45\\\\|\overline{AB}|=\sqrt{3^2+6^2+4^2}=\sqrt{61}\ \ ,\ \ |\overline{CD}|=\sqrt{9+36+0}=\sqrt{45}\\\\cos\alpha =\dfrac{-45}{\sqrt{61}\cdot \sqrt{45}}=-\sqrt{\dfrac{45}{61}}[/tex]  

Угол между векторами тупой, так как  cosa<0,  и равен  [tex]\alpha =\pi -arccos\, \sqrt{\dfrac{45}{61}}=\pi -arccos\, \dfrac{3\sqrt5}{\sqrt{61}}[/tex]