Verified answer

Ответ:

[tex]\bf 1)\ \ x^2-\dfrac{1}{4}\cdot |\, x\, |=\dfrac{3}{4}[/tex]  

Свойство модуля:  [tex]\bf |x|^2=x^2[/tex]  . Поэтому можно уравнение переписать так

[tex]\bf |x|^2-\dfrac{1}{4}\cdot |x|-\dfrac{3}{4}=0[/tex]  

Замена:   [tex]\bf t=|x|\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ t^2-\dfrac{1}{4}\, t-\dfrac{3}{4}=0\ \ \Big|\cdot 4\ \ ,[/tex]  

 [tex]\bf 4t^2-t-3=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-3ac=1+4\cdot 4\cdot 3=49\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{1-7}{8}=-\dfrac{3}{4} < 0\ \ ,\ \ \ t_2=\dfrac{1+7}{8}=1 > 0\\\\|x|=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\pm 1[/tex]      

Ответ:  [tex]\bf x_1=-1\ ,\ x_2=1\ .[/tex]  

[tex]\bf 2)\ \ \Big|\dfrac{3}{4}\, x^2+2x\Big|+1=0[/tex]  

Рассмотрим два случая.

[tex]\bf a)\ \ \dfrac{3}{4}\, x^2+2x\geq 0\ \ \Rightarrow \Big|\dfrac{3}{4}\, x^2+2x\Big|+1= \dfrac{3}{4}\, x^2+2x+1\ ,[/tex]   причём

[tex]\bf x\cdot \Big(\dfrac{3}{4}\, x+2\Big)\geq 0\ \ ,\ \ x\in \Big(-\infty ;-\dfrac{8}{3}\, \Big]\cup \Big[\ 0;+\infty\, \Big)\ \ ,\ \ \ \ -\dfrac{8}{3}\approx -2,7[/tex]  

[tex]\bf \dfrac{3}{4}\, x^2+2x+1=0\ \Big|\cdot 4\ \ ,\\\\3x^2+8x+4=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot 4=16\ \ ,\\\\x_1=\dfrac{-8-4}{6}=-2 > -\dfrac{8}{3}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-8+4}{6}=-\dfrac{2}{3} < 0[/tex]  

Значения переменной не входят в указанный промежуток, поэтому нет решений .

[tex]\bf b)\ \ \dfrac{3}{4}\, x^2+2x < 0\ \ \Rightarrow \Big|\dfrac{3}{4}\, x^2+2x\Big|+1= -\dfrac{3}{4}\, x^2-2x+1\ ,[/tex]   причём

[tex]\bf x\cdot \Big(\dfrac{3}{4}\, x+2\Big) < 0\ \ ,\ \ x\in \Big[-\dfrac{8}{3}\ ;\ 0\, \Big]\ \ ,\ \ \ \ x\in [-2,7\ ;\ 0\ ][/tex]  

[tex]\bf -\dfrac{3}{4}\, x^2-2x+1=0\ \Big|\cdot 4\ \ ,\\\\-3x^2-8x+4=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=8^2+4\cdot 3\cdot 4=112\ \ ,\\\\x_1=\dfrac{-8-2\sqrt{28}}{6}=-\dfrac{4+2\sqrt7}{3}\approx -3,1\notin [-2,7\ ;\ 0\ ]\ \ ,\\\\x_2=\dfrac{-8+2\sqrt{28}}{6}=\dfrac{-4+2\sqrt7}{3}\approx 0,4\notin [-2,7\ ;\ 0\ ][/tex]  

Ответ:  нет решений .